高等数学练习答案-总习题八

总习题八1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)f(xy)在(xy)可微分是f(xy)在该点连续的______条件f(xy)在点连续是f(xy)在该点可微分的______条件解充分必要(2)zf(xy)在点(xy)的偏导数xz及yz存在是f(xy)在该点可微分的______条件zf(xy)在点(xy)可微分是函数在该点的偏导数xz及yz存在的______条件解必要充分(3)zf(xy)的偏导数xz及yz在(xy)存在且连续是f(xy)在该点可微分的______条件解充分(4)函数zf(xy)的两个二阶偏导数yxz2及xyz2在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的______条件解充分2选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论设函数f(xy)在点(00)的某邻域内有定义且fx(00)3fy(00)1则有______(A)dz|(00)3dxdy(B)曲面zf(xy)在点(00f(00))的一个法向量为(311)(C)曲线0),(yyxfz在点(00f(00))的一个切向量为(103)(D)曲线0),(yyxfz在点(00f(00))的一个切向量为(301)解(C)3求函数)1ln(4),(222yxyxyxf的定义域并求),(lim)0,21(),(yxfyx解函数的定义域为{(xy)|0x2y21,y24x}因为D)0,21(故由初等函数在定义域内的连续性有43ln2)1ln(4)1ln(4lim),(lim)0,21(222222)0,21(),()0,21(),(yxyxyxyxyxfyxyx4证明极限422)0,0(),(limyxxyyx不存在解因为02limlim230422)0,0(),(xxyxxyxxyyx21limlim4440422)0,0(),(2yyyyxxyyyxyx所以422)0,0(),(limyxxyyx不存在5设000),(2222222yxyxyxyxyxf求fx(xy)fy(xy)解当x2y20时222222222)(2)(2)(),(yxxyxyxxyyxyxxyxfx2223)(2yxxy2222222222)(2)()(),(yxyyxyxxyxyxyyxfy222222)()(yxyxx当x2y20时00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00xxfxffxxx00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00yyfyffyyy因此000)(2),(22222223yxyxyxxyyxfx000)()(),(2222222222yxyxyxyxxyxfy6求下列函数的一阶和二阶偏导数(1)zln(xy2)解21yxxz2222)(1yxxz22yxyyz222222222)()(2)(4)(2yxyxyxyyxyz2222)(2)1(yxyyxyyxz(2)zxy解1yyxxz222)1(yxyyxzxxyzylnxxyzy222ln)ln1(ln)(11112xyxxyxxyxyyxzyyyy7求函数22yxxyz当x2y1x0001y003时的全增量和全微分解02.032)03.1()01.2()03.1()01.2(22z因为22223)()(yxyxyxz22223)(yxxyxyz95)1,2(xz910)1,2(yz所以03.0)1,2()1,2(03.0,101.0,2yyzxxzdzyyxx8设000)(),(22222/32222yxyxyxyxyxf证明f(xy)在点(00)处连续且偏导数存在但不可微分证明因为222/3222222/32222)()()(0yxyxyxyxyx且0lim22)0,0(),(yxyx所以)0,0(0),(lim)0,0(),(fyxfyx即f(xy)在点(00)处连续因为00lim)0,0()0,0(lim)0,0(0xxfxffxxx00lim)0,0()0,0(lim)0,0(0yxfyffyyy所以f(xy)在点(00)处的偏导数存在因为2/32222])()[()()(])0,0()0,0([yxyxyfxfzyx041])(2[)(lim])()[()()(lim2/32402/322220xxyxyxxyx所以f(xy)在点(00)处不可微分9设uxy而x(t)y(t)都是可微函数求dtdu解)(ln)(1txxtyxdtdyyudtdxxudtduyy10设zf(uvw)具有连续偏导数而uvwx求zzz解wzvzwwzvvzuuzzwzuzwwzvvzuuzzvzuzwwzvvzuuzz11设zf(uxy)uxey其中f具有连续的二阶偏导数求yxz2解xuyxuffefxufxz)()()(2xuyuyxuyfyfyefeffeyyxz)()(xyxuuyuuyuyfyuffyufefe)()(xyxuyuyuuyyuyffxeffxeefexyxuyuyyuuyuyffxefefxefe212设xeucosvyeusinvzuv试求xz和yz解xvuxuvxvvzxuuzxzyvuyuvyvvzyuuzxz而由xeucosvyeusinv得vdvevduedyvdvevduedxuuuucossinsincos解得vdyevdxeduuusincosvdyevdxedvuucossin从而vexuucosveyuusinvexvusinveyvucos因此)sincos()sin(cosvuvveveuvvexzuuu)cossin(cossinvuvvevuevvexzuuu另解由xeucosvyeusinv得vdvevduedyvdvevduedxuuuucossinsincos解得vdyevdxeduuusincosvdyevdxedvuucossin又由zuv得udvduvdudz)cossin()sincos(vdyevdxeuvdyevdxevuuuudyvuvvedxvuvveuu)cossin()sincos(从而)sincos(vuvvexzu)cossin(vuvveyzu13求螺旋线xacosyasinzb在点(a00)处的切线及法平面方程解点(a00)对应的参数为0所以点(a00)处的切向量为),,0(),cos,sin(),,(00babaaddzddyddxT所求的切线方程为bzayax0法平面方程为a(y0)b(z0)0即aybz014在曲面zxy上求一点使这点处的法线垂直于平面x3yz90并写出这法线的方程解已知平面的法线向量为n0(131)设所求的点为(x0y0z0)则曲面在该点的法向量为n(y0x01)由题意知n//n0即113100xy于是x03y01z0x0y03即所求点为(313)法线方程为133113zyx15设el(cossin)求函数f(xy)x2xyy2在点(11)沿方向l的方向导数并分别确定角使这导数有(1)最大值(2)最小值(3)等于0解由题意知l方向的单位向量为(coscos)(cossin)即方向余弦为coscoscossin因为fx(11)(2xy)|(11)1fy(11)(x2y)|(11)1所以在点(11)沿方向l的方向导数为)4sin(2sincoscos)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf因此(1)当4时方向导数最大其最大值为2(2)当45时方向导数最小其最小值为2(3)当43及47时方向导数为016求函数ux2y2z2在椭球面1222222czbyax上点M0(x0y0z0)处沿外法线方向的方向导数解椭球面1222222czbyax上点M0(x0y0z0)处有外法向量为),,(202020czbyaxn其单位向量为),,(1)cos,cos,(cos202020424242czbyaxczbyaxne因为ux(x0y0z0)2x0uy(x0y0z0)2y0uz(x0y0z0)2z0所以所求方向导数为cos),,(cos),,(cos),,(000000000),,(000zyxuzyxuzyxunuzyxzyx4242422002002004242422)222(1czbyaxczzbyyaxxczbyax17求平面1543zyx和柱面x2y21的交线上与xOy平面距离最短的点解设M(xyz)为平面和柱面的交线上的一点则M到xOy平面的距离为d(xyz)|z|问题在于求函数f(xyz)|z|2z2在约束条件1543zyx和x2y21下的最不值作辅助函数)1()1543(),,(222yxzyxzzyxF令1154305202402322yxzyxzzFyyFxxF解方程组得54x53y1235z因为可能的极值点只有)1235,53,54(这一个所以这个点就是所求之点18在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小求这切平面的切点并求此最小体积解令1),,(222222czbyaxzyxF则22axFx22byFy22czFz椭球面上点M(xyz)处的切平面方程为0)()()(222