高等数学练习答案10-3

习题1031计算下列曲线积分并验证格林公式的正确性(1)ldyyxdxxxy)()2(22其中L是由抛物线yx2及y2x所围成的区域的正向边界曲线解LL1L2故Ldyyxdxxxy)()2(2221)()2()()2(2222LLdyyxdxxxydyyxdxxxy10012243423)](2)2[(]2)()2[(dyyyyyydxxxxxx301)242()22(1010245235dyyyydxxxx而dxdyxdxdyyPxQDD)21()(102)21(yydxxdy301)(421021dyyyyy所以lDQdyPdxdxdyyPxQ)((2)ldyxyydxxyx)2()(232其中L是四个顶点分别为(00)、(20)、(22)、和(02)的正方形区域的正向边界解LL1L2L3L4故Ldyxyydxxyx)2()(232dyxyydxxyxLLLL)2())((2324321202002022222)8()4(dyydxxxdyyydxx8482020ydyxdx而dxdyxyydxdyyPxQDD)32()(220220)32(dyxyydx8)48(20dxx所以lDQdyPdxdxdyyPxQ)(2利用曲线积分求下列曲线所围成的图形的面积(1)星形线xacos3tyasin3t解LdtttataydxA2023)sin(cos3sin20224283cossin3atdtta(2)椭圆9x216y2144解椭圆9x216y2144的参数方程为x4cosy3sin02故LydxxdyA2120)]sin4(sin3cos3cos4[21d20126d(3)圆x2y22ax解圆x2y22ax的参数方程为xaacosyasin02故LydxxdyA2120)]sin(sincos)cos1([21daaaa2202)cos1(2ada3.计算曲线积分Lyxxdyydx)(222其中L为圆周(x1)2y22L的方向为逆时针方向解)(222yxyP)(222yxxQ当x2+y20时yPxQ0)(2)(22222222222yxyxyxyx在L内作逆时针方向的小圆周lxcosysin(02)在以L和l为边界的闭区域D上利用格林公式得0)(dxdyyPxQQdyPdxDlL即lLldyPdxQdyPdxQdyPdx因此lLyxxdyydxyxxdyydx)(2)(2222220222222cossind2021d4证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关并计算积分值(1))3,2()1,1()()(dyyxdxyx解PxyQxy显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数而且1xQyP故在整个xOy面内积分与路径无关取L为点(11)到(23)的直线y2x1x从1变到2则)3,2()1,1(21)]1(2)13[()()(dxxxdyyxdxyx2125)1(dxx(2))4,3()2,1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy解P6xy2y3Q6x2y3xy2显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数并且2312yxyxQyP故积分与路径无关取路径(12)(14)(34)的折线则)4,3()2,1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy236)6496()3642312dxxdyyy(3))1,2()0,1(324)4()32(dyxyxdxyxy解P2xyy43Qx24xy3显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数并且342yxxQyP所以在整个xOy面内积分与路径无关选取路径为从(10)(12)(21)的折线则)1,2()0,1(324)4()32(dyxyxdxyxy102135)1(2)41(dxxdyy5.利用格林公式计算下列曲线积分:(1)Ldyxydxyx)635()42(其中L为三顶点分别为(00)、(30)和(32)的三角形正向边界解L所围区域D如图所示P2xy4Q5y3x64)1(3yPxQ故由格林公式得Ldyxydxyx)6315()42(dxdyyPxQD)(124dxdyD(2)Lxxdyyexxdxeyxxyxyx)2sin()sin2cos(222其中L为正向星形线323232ayx(a0)解xeyxxyxyxP22sin2cosxyexxQ2sin20)2cossin2()2cossin2(22xxyexxxxyexxxxyPxQ由格林公式Lxxdyyexxdxeyxxyxyx)2sin()sin2cos(2220)(dxdyyPxQD(3)Ldyyxxydxxyxy)3sin21()cos2(2223其中L为在抛物线2xy2上由点(00)到)1,2(的一段弧解xyxyPcos223223sin21yxxyQ0)cos26()6cos2(22xyxyxyxyyPxQ所以由格林公式0)(dxdyyPxQQdyPdxDOBOAL其中L、OA、OB、及D如图所示故ABOALQdyPdxQdyPdx4)4321(02201022dyyydx(4)Ldyyxdxyx)sin()(22其中L是在圆周22xxy上由点(00)到点(11)的一段弧解Px2yQxsin2y0)1(1yPxQ由格林公式有0)(dxdyyPxQQdyPdxDBOABL其中L、AB、BO及D如图所示故LOBBAdyyxdxyxdyyxdxyx)sin()()sin()(22222sin4167)sin1(102102dxxdyy6验证下列P(xy)dxQ(xy)dy在整个xOy平面内是某一函数u(xy)的全微分并求这样的一个u(xy):(1)(x2y)dx(2xy)dy证明因为yPxQ2所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(xy)的全微分),()0,0()2()2(),(yxCdyyxdxyxyxuCyxyx22222(2)2xydxx2dy解因为yPxxQ2所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(xy)的全微分),()0,0(22),(yxCdyxxydxyxuyyCyxCxydxdy00220(3)4sinxsin3ycosxdx–3cos3ycos2xdy解因为yPxyxQ2sin3cos6所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(xy)的全微分),()0,0(2cos3cos3cos3sinsin4),(yxCxdyyxdxyxyxuCyxCxdyydxxy3sin2cos2cos3cos3000(4)dyyeyxxdxxyyxy)128()83(2322解因为yPxyxxQ1632所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(xy)的全微分),()0,0(232)128()823(),(yxyCdyyeyxxdxxyiyxhyxuCdxxyyxdyyeyxy0022)83(12Ceyeyxyxyy)(124223(5)dyyxxydxxyyx)sinsin2()coscos2(22解因为yPyxxyxQsin2cos2所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个函数u(xy)的全微分xyCdyyxxyxdxyxu002)sinsin2(2),(Cyxxycossin227设有一变力在坐标轴上的投影为Xxy2Y2xy8这变力确定了一个力场证明质点在此场内移动时场力所做的功与路径无关解场力所作的功为dyxydxyxW)82()(2由于yXyxY2故以上曲线积分与路径无关即场力所作的功与路径无关