0107应力状态和强度理论讲解

河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论2020年1月20日材料力学第7章应力状态和强度理论河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论目录§7-1应力状态概述§7-2平面应力状态分析·主应力§7-3空间应力状态的概念§7-4应力与应变间的关系§7-5空间应力状态下的应变能密度§7-6强度理论及其相当应力§7-7强度理论的应用河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论3§7-1概述在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体──单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(stateofstress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。第七章应力状态和强度理论一、一点的应力状态河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论420coscosp2sin2sin0p单向应力状态第七章应力状态和强度理论kkFFFFkkpa河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论52sin2cos纯剪切应力状态第七章应力状态和强度理论xydyabdzdxcnbcdef45o45omaxmaxminminbef(a)mnMeMed河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论二、研究应力状态的目的1.解决复杂应力状态下(组合变形）的强度计算问题2.有助于理解和解释某些破坏现象●为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论三、应力状态的研究方法任意一对平行平面上的应力相等1、单元体特征2、主单元体各侧面上切应力均为零的单元体单元体的尺寸无限小，312231取单元体每个面上应力均匀分布河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论3、主平面切应力为零的截面4、主应力主平面上的正应力说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即321河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论四、单元体的取法FFmmFqxxxMeMe河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论五、应力状态的分类1、空间应力状态三个主应力1、2、3均不等于零2、平面应力状态三个主应力1、2、3中有两个不等于零3、单向应力状态三个主应力1、2、3中只有一个不等于零312231221111河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论11§7-2平面应力状态的应力分析·主应力平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力,即不等于零的应力分量均处于同一坐标面内。第七章应力状态和强度理论河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，表明A点处于平面应力状态。(a)(c)(b)河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论13平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。第七章应力状态和强度理论xyzabcdxy(a)xyyyxxefndabcxyxx(b)xxyyyy河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论Ⅰ.斜截面上的应力图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角定义，且角以自x轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力和切应力均为正值，即以拉应力为正，以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cos，而底面bf的面积为dA·sin。图d示出了作用于体元ebf诸面上的力。体元的平衡方程为0sinsindcossindcoscosdsincosdd0AAAAAFyyxxn，0cossindsinsindsincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力y按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的y仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是x=y。由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2为参变量的求斜截面上应力，的公式：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxⅡ莫尔圆(Mohr’scircle)将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论2222()()22xyxyx上式在-直角坐标系内的轨迹是一个圆。1、圆心的坐标),(02yxC2、圆的半径22()2xyxR此圆习惯上称为应力圆或称为莫尔圆。河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论①建-坐标系,选定比例尺o3.应力圆作法（1）步骤xyxxyyyy河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论Do②量取OA=xAD=x得D点xyxxyxxAOB=y③量取BD′=y得D′点yBD′④连接DD′两点的直线与轴相交于C点⑤以C为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为(2)该圆半径为22()2xyxRDoxAyBD′C（2）证明22121yxOBOAOBOAOBOC)()(2222()2xyxCDCAAD2yx河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论3.应力圆的应用（1）求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力。DoxAyBD′C20FE2xyaxxyxefn河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论)cos(220CEOCCFOCOF222200sinsincoscosCDCDOCcos2sin222xyxyx22222200sincoscossin)sin(CDCDCEFEosin2cos22xyx证明河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论24点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；yyxADxa(x,x)d(y,y)co几种对应关系转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论（2）求主应力①主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，22211122max()xyxyxOAOCCA2211222min()xyxyxOBOCCB12DoxAyBD′C20FE2B1A1河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论20DoxAyBD′C12A1B1②主平面方位由CD顺时针转20到CA1所以单元体上从x轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线022tan()xxyDACA022tanxxy1022tan()xxy0确定后，1对应的主平面方位即确定河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论（3）求最大切应力G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力20DoxAyBD′C12A1B1G1G2221max()2xyxCG221minmax因为最大最小切应力等于应力圆的半径河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论例3两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面c上a,b两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。1202709zab250KN1.6m2mABC河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论+200kN50kN+解:(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图Mmax=MC=80kN•mFSmax=FC左=200kN250KN1.6m2mABCzIMy463310881227011112300120mmzImm135aydISFzzS*河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论32560005715015120mm).(*zaS1202709zab(2)横截面C上a点的应力为MPa.5122azcayIMMPa.*S664dISFzzaaa点的单元体如图所示axxxy河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论由x，x定出D点由y，y定出D′点以DD′为直径作应力圆OC（3)做应力圆x=122.5MPa，x=64.6MPay=0，y=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力1和3MPaMPa271502211OAOAA1点对应于单元体上1所在的主平面00452005.22河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论MPaMPa2270150315220.axxxy0131202709zab(4)横截面C上b点的应力MPa5.136bzcbyIM0bmmyb150b点的单元体如图所示bxx河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论b点的三个主应力为1所在的主平面就是x平面,即梁的横截面C0,MPa5.136321bxx(136.5,0)D(0,0)D′1河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论34下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。图中x平面有：xzxyx,,图中y平面有：yzyxy,,图中z平面有：zyz