课堂讲练互动

课堂讲练互动1.2.1三角函数的定义课件（人教B版必修4）课堂讲练互动1．2任意角的三角函数1．2.1三角函数的定义课堂讲练互动课堂互动讲练知能优化训练1．2.1课前自主学案学习目标课堂讲练互动学习目标1.理解任意角的余弦、正弦和正切的定义，了解任意角的余切、正割和余割的定义．2．能判断三角函数在各象限内的符号．课堂讲练互动课前自主学案温故夯基1．与角α终边相同的角的集合为：______________________．2．1弧度＝______≈________＝_________{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(180π)°57.30°57°18′课堂讲练互动360°＝____rad180°＝_____rad1°＝_____rad3．设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数．则l＝______，S扇＝______＝__________2ππ180παr12l·r12·α·r2课堂讲练互动知新益能1．三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y20).课堂讲练互动三角函数定义定义域sinαyrRcosαxrRtanαyx{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}secαrx{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}cscαry{α|α≠kπ，k∈Z}cotαxy{α|α≠kπ，k∈Z}课堂讲练互动思考感悟1．若上述定义中r＝1，会影响其正确性吗？提示：不会，由P点的任意性可知r＝1时仍然正确．课堂讲练互动2．三角函数在各象限的符号(1)用图形表示：如图所示．课堂讲练互动(2)用表格表示α的终边x轴正半轴第一象限y轴正半轴第二象限x轴负半轴第三象限y轴负半轴第四象限sinα0＋＋＋0－－－cosα＋＋0－－－0＋tanα0＋不存在－0＋不存在－课堂讲练互动思考感悟2．三角函数在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数定义可知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．课堂讲练互动课堂互动讲练考点突破三角函数的定义及应用三角函数定义是学好三角函数的最基础工具，利用定义解决问题是我们必须掌握的基本方法．课堂讲练互动已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．例1【思路点拨】课堂讲练互动【解】r＝－3a2＋4a2＝5|a|若a0，则r＝5a，角α在第二象限．sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35.∴2sinα＋cosα＝85－35＝1若a0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35.∴2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.课堂讲练互动【点评】求已知角α的终边上一点的坐标，常用的解题方法有以下两种：(1)若该点坐标(a，b)不含参数时，则先求出r＝a2＋b2，然后由任意角的三角函数定义求得．(2)若该点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练1已知角α的终边在直线y＝3x上，求角α的三角函数值．课堂讲练互动解：设点P(a，3a)(a≠0)是角α终边上任意一点，则tanα＝3，cotα＝33，且r＝a2＋3a2＝2|a|.当a＞0时，sinα＝32，cosα＝12，secα＝2，cscα＝233.当a＜0时，sinα＝－32，cosα＝－12，secα＝－2，cscα＝－233，课堂讲练互动∴sinα＝32，cosα＝12，tanα＝3，cotα＝33，secα＝2，cscα＝233或sinα＝－32，cosα＝－12，tanα＝3，cotα＝33，secα＝－2，cscα＝－233.课堂讲练互动正确判断三角函数符号是进一步学好三角函数问题的关键，也是学生易错点之一．三角函数符号的判断课堂讲练互动【思路点拨】明确各角所在的象限，进而判断三角函数的符号．例2判断下列各式的符号：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin15π7tan(－13π3)；(3)sin1·cos2·tan3.课堂讲练互动【解】(1)∵145°是第二象限的角，∴sin145°0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限的角，∴cos(－210°)0.∴sin145°cos(－210°)0.(2)∵15π7＝2π＋π7，∴15π7是第一象限的角，∴sin15π70.课堂讲练互动∵－13π3＝－6π＋5π3，∴－13π3是第四象限的角，∴tan(－13π3)0.∴sin15π7tan(－13π3)0.(3)∵1弧度的角是第一象限的角，2弧度的角是第二象限的角，3弧度的角是第二象限的角，∴sin10，cos20，tan30，∴sin1·cos2·tan30.课堂讲练互动【点评】准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．变式训练2求sinx|sinx|＋cosx|cosx|＋tanx|tanx|(x≠12kπ，k∈Z)的值．课堂讲练互动解：因为x≠12kπ，k∈Z，所以当x是第一象限的角时，sinx0，cosx0，tanx0，原式＝sinxsinx＋cosxcosx＋tanxtanx＝3.当x是第二象限的角时，sinx0，cosx0，tanx0，原式＝sinxsinx＋cosx－cosx＋tanx－tanx＝－1.当x是第三象限的角时，sinx0，cosx0，tanx0，课堂讲练互动原式＝sinx－sinx＋cosx－cosx＋tanxtanx＝－1.当x是第四象限的角时，sinx0，cosx0，tanx0，原式＝sinx－sinx＋cosxcosx＋tanx－tanx＝－1.综上可知，sinx|sinx|＋cosx|cosx|＋tanx|tanx|的值为3或－1.课堂讲练互动求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，需要注意的是，凡涉及到三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义．三角函数的定义域课堂讲练互动【思路点拨】在本例(1)中，找出使tanx成立的x的范围即可，在(2)中除了找出使tanx成立的x的范围，还应考虑分母不为0这个条件．例3求下列函数的定义域：(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝sinx＋cosxtanx.课堂讲练互动【解】(1)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义，所以有x∈Rx≠kπ＋π2k∈Z，所以函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．课堂讲练互动(2)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0，所以有x≠kπ＋π2k∈Zx≠kπ，所以函数y＝sinx＋cosxtanx的定义域为{x|x≠kπ2，k∈Z}．课堂讲练互动【点评】求三角函数的定义域，应熟悉各三角函数在各个象限的符号，并要注意tanx本身的定义域．变式训练3求下列函数的定义域．(1)y＝sinx·tanx；(2)y＝lgsinx＋9－x2.课堂讲练互动解：(1)∵sinx·tanx≥0，∴sinx与tanx同号或sinx·tanx＝0，故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角．∴函数的定义域为{x|2kπ－π2＜x＜2kπ＋π2或x＝kπ，k∈Z}．(2)由题意得sinx＞09－x2≥0，课堂讲练互动由sinx＞0，得2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)，①由9－x2≥0，得－3≤x≤3,②由①②得0＜x≤3.故函数的定义域为{x|0＜x≤3}．课堂讲练互动方法感悟1．由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)．也就是说，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．角α的三角函数值的符号只与角α所在的象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定．3．在确定三角函数定义域时要特别注意某些三角函数有意义的范围，特别是tanx.课堂讲练互动