离散数学第11章课件PPT_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编

1第十一章格与布尔代数主要内容格的定义及性质子格分配格、有补格布尔代数211.1格的定义与性质定义11.1设S,≼是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.（偏序关系P126）求{x,y}最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，例1设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集Sn,D构成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数.x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.3图2例2判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1)P(B),，其中P(B)是集合B的幂集.(2)Z,≤，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出.实例(1)幂集格.x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.(2)是格.x,y∈Z，x∨y=max(x,y)，x∧y=min(x,y)，(3)都不是格.可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界4格的性质：算律定理11.1设L,≼是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1)a,b∈L有a∨b=b∨a,a∧b=b∧a(2)a,b,c∈L有(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3)a∈L有a∨a=a,a∧a=a(4)a,b∈L有a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a5格的性质：序与运算的关系定理11.3设L是格,则a,b∈L有a≼ba∧b=aa∨b=b可以用集合的例子来验证幂集格P(B),，其中P(B)是集合B的幂集.幂集格.x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.6格的性质：保序定理11.4设L是格,a,b,c,d∈L，若a≼b且c≼d,则a∧c≼b∧d,a∨c≼b∨d例4设L是格,证明a,b,c∈L有a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c).证a∧c≼a≼b,a∧c≼c≼d因此a∧c≼b∧d.同理可证a∨c≼b∨d证由a≼a,b∧c≼b得a∨(b∧c)≼a∨b由a≼a,b∧c≼c得a∨(b∧c)≼a∨ca∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)（注意最大下界）注意：一般说来,格中的∨和∧运算不满足分配律.7格作为代数系统的定义定理11.4设S,∗,◦是具有两个二元运算的代数系统,若对于∗和◦运算适合交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义S中的偏序≼,使得S,≼构成格,且a,b∈S有a∧b=a∗b,a∨b=a◦b.证明省略.根据定理11.4,可以给出格的另一个等价定义.定义11.3设S,∗,◦是代数系统,∗和◦是二元运算,如果∗和◦满足交换律、结合律和吸收律,则S,∗,◦构成格.811.2分配格、有补格与布尔代数定义11.5设L,∧,∨是格,若a,b,c∈L,有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)则称L为分配格.注意：可以证明以上两个条件互为充分必要条件L1和L2是分配格,L3和L4不是分配格.称L3为钻石格,L4为五角格.实例9有界格的定义定义11.6设L是格,(1)若存在a∈L使得x∈L有a≼x,则称a为L的全下界(2)若存在b∈L使得x∈L有x≼b,则称b为L的全上界说明：格L若存在全下界或全上界,一定是惟一的.一般将格L的全下界记为0,全上界记为1.定义11.7设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界格,一般将有界格L记为L,∧,∨,0,1.10定理11.6设L,∧,∨,0,1是有界格,则a∈L有a∧0=0,a∨0=a,a∧1=a,a∨1=1注意：有限格L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧a2∧…∧an是L的全下界,a1∨a2∨…∨an是L的全上界.0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元；1是关于∨运算的零元,∧运算的单位元.有界格的性质11有界格中的补元及实例定义11.8设L,∧,∨,0,1是有界格,a∈L,若存在b∈L使得a∧b=0和a∨b=1成立,则称b是a的补元.注意：若b是a的补元,那么a也是b的补元.a和b互为补元.例7考虑下图中的格.针对不同的元素，求出所有的补元.12解答(1)L1中a与c互为补元,其中a为全下界,c为全上界,b没有补元.(2)L2中a与d互为补元,其中a为全下界,d为全上界,b与c也互为补元.(3)L3中a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d;c的补元是b和d;d的补元是b和c;b,c,d每个元素都有两个补元.(4)L4中a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d;c的补元是b;d的补元是b.13有界分配格的补元惟一性定理11.7设L,∧,∨,0,1是有界分配格.若L中元素a存在补元,则存在惟一的补元.证假设c是a的补元,a∨c=1,a∧c=0,又知b是a的补元,故a∨b=1,a∧b=0从而得到a∨c=a∨b,a∧c=a∧b,由于L是分配格.b=b∧(b∨a)=b∧(c∨a)=(b∧c)∨(b∧a)=(a∨c)∧c=c注意：在任何有界格中,全下界0与全上界1互补.对于一般元素,可能存在补元,也可能不存在补元.如果存在补元,可能是惟一的,也可能是多个补元.对于有界分配格,如果元素存在补元,一定是惟一的.14图9有补格的定义定义11.9设L,∧,∨,0,1是有界格,若L中所有元素都有补元存在,则称L为有补格.例如,图中的L2,L3和L4是有补格,L1不是有补格.15布尔代数的定义与实例定义11.10如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔代数.布尔代数标记为B,∧,∨,,0,1,为求补运算.例8设S110={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的正因子集合，gcd表示求最大公约数的运算，lcm表示求最小公倍数的运算，问S110,gcd,lcm是否构成布尔代数？为什么？解画出哈斯图？(1)不难验证S110关于gcd和lcm运算构成格.(略)(2)验证分配律x,y,z∈S110有gcd(x,lcm(y,z))=lcm(gcd(x,y),gcd(x,z))(3)验证它是有补格,1作为S110中的全下界,110为全上界,1和110互为补元,2和55互为补元,5和22互为补元,10和11互为补元,从而证明了S110,gcd,lcm为布尔代数.16布尔代数的性质定理11.8设B,∧,∨,,0,1是布尔代数,则(1)a∈B,(a)=a.(2)a,b∈B,(a∧b)=a∨b,(a∨b)=a∧b（德摩根律）证(1)(a)是a的补元,a也是a的补元.由补元惟一性得(a)=a.(2)对任意a,b∈B有(a∧b)∨(a∨b)=(a∨a∨b)∧(b∨a∨b)=(1∨b)∧(a∨1)=1∧1=1,(a∧b)∧(a∨b)=(a∧b∧a)∨(a∧b∧b)=(0∧b)∨(a∧0)=0∨0=0a∨b是a∧b的补元,根据补元惟一性有(a∧b)=a∨b,同理可证(a∨b)=a∧b.注意：德摩根律对有限个元素也是正确的.17图11实例下图给出了1元,2元,4元和8元的布尔代数.18第十一章习题课主要内容格的两个等价定义格的性质子格特殊格：分配格、有界格、有补格、布尔代数基本要求能够判别给定偏序集或者代数系统是否构成格能够确定一个命题的对偶命题能够证明格中的等式和不等式能判别格L的子集S是否构成子格能够判别给定的格是否为分配格、有补格能够判别布尔代数并证明布尔代数中的等式19解1．求图中格的所有子格.1元子格：{a},{b},{c},{d},{e}；2元子格：{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,e},{d,e}；3元子格：{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,e},{b,d,e}；4元子格：{a,b,c,e},{a,b,d,e},{b,c,d,e}；5元子格：{a,b,c,d,e}练习1eabcd20L1L2L3图122．针对下图，求出每个格的补元并说明它们是否为有补格L1中,a与h互为补元,其他元素没补元.L2中,a与g互为补元.b的补元为c,d,f；c的补元为b,d,e,f；d的补元为b,c,e；e的补元为c,d,f；f的补元为b,c,e.L3中,a与h互为补元,b的补元为d；c的补元为d；d的补元为b,c,g；g的补元为d.L2与L3是有补格.练习2