02第二章.平面体系的几何构造分析

1平面体系的几何构造分析第二章§2-1几何构造分析的基本概念§2-2几何不变体系的组成规律§2-3平面体系的计算自由度2§2-1几何构造分析的基本概念一、几何构造分析的目的1.判断某个体系是否为几何不变体系，因为只有几何不变体系才能作为结构使用；此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。2.正确区分静定结构与超静定结构。二、基本概念1.几何不变体系与几何可变体系几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系的位置和形状不会改变。3几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系的位置和形状是可以改变的。几何不变体系几何可变体系常变体系瞬变体系常变体系——可以发生大位移的几何可变体系叫作常变体系。4瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。常变体系瞬变体系几何可变体系不能作为结构来使用。B1BACo52.刚片由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在几何构造分析中称为刚片。3.自由度体系在平面内运动时，可以独立变化的几何参数的数目称为自由度。1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x、y。62）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数x、y、φ。结点自由度xyAyx刚片自由度xyyxφ4.约束凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。71）链杆约束的种类分为：链杆约束xyxφ,xxyxy321,,,,yx123简单链杆仅连结两个结点的杆件称为简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根简单链杆相当于一个约束。8n=3复杂链杆连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。(23)2333n2）铰一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。简单铰只与两个刚片连结的铰称为简单铰。复杂铰与三个或三个以上刚片连结的铰称为复杂饺。9铰约束xyxIII2121,,,yxyxyxIIIIII2(3-1)=4123321,,,,yxy3）刚性连结看作一个刚片若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。104）瞬铰（虚铰）两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交点处有一个瞬铰（虚铰）。关于∞点的情况需强调几点：——每一个方向有一个∞点;——不同方向有不同∞点;——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;——各有限点都不在∞线上。相交在∞点AA11§2-2几何不变体系的组成规律一、几何不变体系的组成规律基本规律：三角形规律。1.规律1——一个结点与一个刚片的连接一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：结点A，刚片I提供的约束：两根链杆1，2A12I12右图示体系，结点A、刚片I由共线的链杆1，2相连，是瞬变体系。A12I2.规律2——两个刚片之间的连接两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：刚片I，II提供的约束：铰A及链杆1A1III13铰A也可以是瞬铰，如右图示。3.规律3——三个刚片之间的连接三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变体系且无多余约束。A1IIIAIIIIIIBC被约束对象：刚片I，II，III提供的约束：铰A、B、C14刚片I,II——用铰A连接刚片I,III——用铰B连接刚片II,III——用铰C连接4.规律4——两个刚片之间的连接两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。A3III21提供的约束：链杆1，2，3被约束对象：刚片I，IIAIIIIIIBC155.关于无穷远瞬铰的情况一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。AIII1IIB2Ia)C16瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无多余约束（见图b）。BIIIIICIAb)17形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个铰A、B、C位于同一直线上，故体系为瞬变体系（见图c）。AIIIIICIBc)18二、举例基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。解题思路：例2-2-1试分析图a)所示体系的几何构造。a）19a）12345DIII（基础）1）被约束对象：刚片I,II及结点D。刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4，组成大刚片；I解：大刚片、结点D用链杆4、5相连，符合规律1。故体系为几何不变且无多余约束。I202）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图b)。A1234DIII（基础）b）IIIBo刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、B、o不共线，符合规律3，组成大刚片。I大刚片与结点D用链杆3、4相连，符合规律1。故体系几何不变且无多余约束。I解：21例2-2-2试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。故该体系几何不变且无多余约束。123III（基础）解：22例2-2-3试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2相连，（瞬铰A)；刚片I、III用链杆3、4相连，（瞬铰B)；刚片II、III用链杆5、6相连，（瞬铰C)。A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无穷线上，故为瞬变体系。BAC6I125IIIII34解：23例2-2-4试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2相连（瞬铰A)刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B)（瞬铰C)刚片II、III用链杆5、6相连因为A、B、C三铰不在同一直线，符合规律3，故该体系几何不变且无多余约束。CA12IIII（基础）II4356B解：24思考题：试分析下图示各体系的几何构造组成。a）b）25c）d）e）f）26小结：3）注意约束的等效替换。1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及所提供的约束。2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束，除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。27§2-3平面体系的计算自由度一、复杂链杆与复杂铰1.简单链杆与复杂链杆简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。282.简单铰与复杂铰简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。若刚片数为m，则该复杂铰相当与(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称为复杂铰。3.封闭刚架有三个多余约束无多余约束29二、计算自由度1.将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆为约束。则计算自由度公式为：m—刚片数；g—简单刚结数；h—简单铰数；b—简单链杆数在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。3(32)Wmghb302.将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度公式为：j—结点数；b—简单链杆数。3.混合公式——约束对象为刚片和结点，约束为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：m、j、g、h、b意义同前。2Wjb(32)(32)Wmjghb314.一个体系若求得W0，一定是几何可变体系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。所以W0是体系几何不变的必要条件，而非充分条件。三、例题例2-3-1试求图示体系的计算自由度。解：m=3g=0h=3b=333(233)990WABCIIIIII12332例2-3-2求图示体系的计算自由度。解：m=2g=1h=1b=5AIII12345例2-3-3求图示体系的计算自由度。解：j=5b=1025100W67D9A12345CE810B32(31215)W610433例2-3-4求图示体系的计算自由度。解:用混合公式计算。m=1j=5g=2b=10(3125)(3210)W13163BDACE12345678910I34例2-3-5求图示体系的计算自由度。解:用混合公式计算。m=2j=4h=1b=12(3224)(2112)W141401BDA2345678910CE1112III