线代第三章

上页下页返回首页结束铃第三章线性方程组教学内容和基本要求教学内容难度§3.1线性方程组和高斯消元法§3.2齐次线性方程组§3.3非齐次线性方程组上页下页返回首页结束铃§3.1线性方程组和高斯消元法一.线性方程组的概念二.高斯消元法本节内容上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组一.线性方程组的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齐次线性方程组(homogeneous~)(systemoflinearequations)相容(consistent)非齐次线性方程组(nonhomogeneous~)解(tosolve,solution)解向量(solutionvector),解集(solutionset),§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,则同解方程组(havingthesamesetofsolutions)；vectorofunknownsvectorofconstants通解：线性方程组全部解的表达式§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组称A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn为(3.1)的系数矩阵[A,b]=a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2……………am1am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组二.Gauss消元法(Gauss’method)2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=20=01/21对换变换(swapping)倍乘变换(rescaling)倍加变换(pivoting)阶梯形方程组(echelonform)§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组x15x3=1x2+2x3=20=0x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0阶梯形(echelonform)(2)最简形(reducedechelonform)由此可得原方程组的通解(generalsolution)x1=5x3+1x2=2x32x3=x3(任意)或写成向量形式x=5c+12c2c,其中c为任意数.自由未知量§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组1.上述求解过程可写成矩阵形式—对应三种初等行变换对换变换(swapping)倍乘变换(rescaling)倍加变换(pivoting)注:倍乘变换必须用非零的数去乘某一个方程(multiplyingbyanonzeroscalar).§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组2.阶梯形线性方程组的有三种基本类型.2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=3例如:leadingvariablesfreevariables§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=30=0无解有唯一解有无数解234102120001212802110015121120014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n此时，虽然系数矩阵和增广矩阵秩相等，但有效方程的个数少于未知数的个数，因此必然导致若干个未知数可任意取值，从而方程组有无穷多组解§3.1线性方程组和Gauss消元法上页下页返回首页结束铃§3.2齐次线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件二.齐次线性方程组解的结构三.基础解系本节内容上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=0(1)零（平凡解）一定有解本节主要讨论三个问题：1.齐次线性方程组是否有解？2.若方程组有解,则解是否唯一？3.若方程组有解且不唯一,则通解表达式如何？§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=0(1)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1+x2+…+xn=0方程组向量形式x11+x22+…+xnn=0(2)齐次方程组何时有非零/非平凡解(nontrivialsolution)？令Amn=(1,2,…,n)，x=(x1,x2,…,xn)T方程组矩阵形式Amnx=0(3)§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件定理3.1.Amnx=0有非零解推论3.1.mnAmnx=0有非零解.推论3.2.Annx=0有非零解|A|=0.r(A)n.1,2,…,n线性相关问：定理3.1的逆否命题形式如何？Amnx=0只有零解1,2,…,n线性无关r(A)=n.§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组例1.当=______时,齐次线性方程组x1+x2+x3=0x1+x2+x3=0x1+x2+x3=02或1提示(1)r(A)3,利用初等行变换(2)利用系数行列式|A|=0判定,更方便=(+2)(-1)2λ11=1λ111λA有非零解?----2008考研数学一(21)的考点§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组二.齐次线性方程组的解的性质性质1.若,都是Ax=0的解向量,则+也是Ax=0的解向量.事实上,A=0,A=0A(+)=A+A=0.性质2.若是Ax=0的解向量,kR,则k也是Ax=0的解向量.综上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,则k1+k2也是Ax=0的解向量,也称Ax=0的解向量组对线性运算封闭.§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组分析：若Ax=0有非零解,则对任意数k,k都是Ax=0的解,即此时方程组的解是不唯一的.若Ax=0的解是唯一的,则此时方程组只有零解.思考本节开始时提出的第二个问题若齐次方程组有解,则解是否唯一？§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组小练习设A为sn矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是()(A)A的行向量组线性无关;(B)A的列向量组线性无关;(C)A的行向量组线性相关;(D)A的列向量组线性相关;D§3.2齐次线性方程组齐次线性方程组Amnx=0有非零解的判定过程初等行变换行阶梯形秩(A)n?有非零解只有零解NoAYes上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组三.基础解系齐次线性方程组Ax=0的解空间的基称为该齐次线性方程组的基础解系(即解向量组的极大无关组).若1,2,…,s是Ax=0的一个基础解系,应满足三条:(1)1,2,…,s是Ax=0的解向量;(2)1,2,…,s是线性无关的;(3)Ax=0的每个解都可以由1,2,…,s来线性表示.Ax=0的通解就可以表示成x=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks为常数.也称一般解§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=r,对Ax=0，(1)若r=n,x1=c1,r+1xr+1+c1,r+2xr+2+…+c1nxnx2=c2,r+1xr+1+c2,r+2xr+2+…+c2nxn………………………xr=cr,r+1xr+1+cr,r+2xr+2+…+crnxnxr+1=xr+1xr+2=xr+2xn=xn………………………(2)若rn,则Ax=0没有基础解系;则Ax=0有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=r.(1)若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若rn,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.=xr+1+xr+2+…+xnx1x2…xrxr+1xr+2…xnc1,r+1c2,r+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…1§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=r.(1)若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若rn,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.1=,c1,r+1c2,r+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…12=,…,nr=.§3.2齐次线性方程组上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组§3.4.1齐次线性方程组解齐次线性方程组Amnx=0的一般步骤A初等行变换行阶梯形秩(A)n?行最简形解最简方程只有零解N初等行变换Y确定基础解系写出方程组的通解上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组例2.求0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解:137723521111初等行变换00007/47/5107/37/201得：xxxxxx1342342307754077xxxxxxxxxx134234334423775477即：依次取,,xx341001则//,,//xx1227375747上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组例2.求0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.所以，该方程组的基础解系可取为通解为,107/47/3,017/57/221).,(,107/47/3017/57/211214321Rccccxxxx上页下页铃结束返回首页第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组注:若依次取,11,1143xx).,(,117/17/1117/97/511214321Rccccxxxx则,7/17/1,7/97/521xx于是得基础解系,117/17/1,11