因次分析和模型试验

因次分析和模型实验因次分析——白金汉π理论相似的基本概念相似准则重力和粘性力同时作用下的相似因次分析因次（量纲）——不同于单位基本因次——相互独立的不可压缩流体的基本因次——M、L、T物理量A的因次cbaTLMAdim2dimMLTF如0a0b0c——几何学量0a0c——运动学量0a——动力学量无量纲的物理量0cba1dimRedim000121TLMTLLLTvd如因次的和谐性——任何物理方程每一项的因次都是相等的区别于经验公式无量纲物理量的意义：（1）客观性；（2）不受运动规模的影响；（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；（4）可进行超越函数的运算常用变量的分组因次分析法目的——便于实验、容易了解问题的实质π定理（白金汉法）——任何一个物理过程，如包括n个物理量，涉及到m个基本因次，则这个物理过程就可由（n-m）个无因次量所表达的关系式来描述。基本因次：(对国际单位制)M——质量、L——长度、T——时间。π理论建立方程式的步骤如下：1．选择与流动现象有关的物理变量（此为最关键的一步）。2．写成函数关系式。如3．选择基本变量（注意三条原则，即：基本变量与基本因次相对应；选择重要的基本变量；不能有任意两个基本变量的因次是完全一样的）。通常，管流中选D、v、ρ三个作基本变量为多；明渠流中则选H、v、ρ为多。4．把基本变量和其它变量组成数，并找出这些数。5．把结果代入函数关系式。0),,,,,(pHDVf例：求有压管流压强损失的表达式解：步骤a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系0,,,,,,vkdlpf7nb.选取基本量常取：几何学量d，运动学量v，动力学量ρm=3基本量独立条件：指数行列式不等于零1dimLTvLddim3dimML110111cba，，010222cba，，031333cba，，c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个1111cbadvp2222cbadv3333cbadvl4444cbadvkd.决定各π项的基本量的指数111dimdim1cbadvp：1113121cbaMLLLTTML比较两边系数11c11131cba12aMLT得a1=2，b1=0，c1=121vp同理vd2dl3dk4e.整理方程式0,,,,,,24321dkdlvdvpffdkdlvdfvp,,2dldkfvpRe,22Re,22vdlvdldkfpdkfRe,（2）雷利法有关物理量少于5个0,,,4321qqqqf3个基本量，只有一个π项小结：变量的选取——对物理过程有一定程度的理解是非常重要的快速方法：直接平衡分子与分母的因次相似性原理1.力学相似lmpmpddll（1）几何相似——模型和原型的几何形状相似。原型中任何长度尺寸和模型中相对应长度尺寸的比值处处相等，对应角相等。mpλl——长度比尺222lmpmpllAA333lmpmpllVV几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学相似的前提（2）运动相似——模型和原型流场中的相应点上存在的同名速度都成一定的比值，且方向相同。vmpmpuuvvλv——速度比尺时间比尺vlmmppmptvlvltt加速度比尺lvtva2（3）动力相似模型和原型流场中的相应点上存在的同名力都成一定的比值，且方向相同。即模型和原型的矢量图相似。FmpFFλF——力的比尺运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验的目的TGPF达朗伯定理：0IEPGTFFFFF动力相似→对应点上的力的封闭多边形相似动力相似是运动相似的保证（4）．初始条件和边界条件相似——模型和原型流场中的初始条件和边界条件满足相似。恒定流,则初始条件不必考虑。边界条件也可以归趋于几何相似。相似条件之间的相互关系：几何相似是前提，动力相似是主导，运动相似是具体表现2.相似准则常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似流动中应该是相等的（1）雷诺准则——粘性力是主要的力ImIPTmTPFFFF改成TmImTPIPFFFFlvlvdydvAFT22vlmaFImmmppplvlv无因次数vlRe雷诺数——粘性力的相似准数1,Re(Re)Remp（2）佛劳德准则——重力是主要的力ImIPGmGPFFFF改成GmImGPIPFFFF3glmgFG22vlFImmmppplgvlgv221,FrmpFrFr无因次数glvFr2佛劳德数——重力的相似准数（3）欧拉准则——压力是主要的力ImIPPmPPFFFF改成ImPmIPPPFFFF2plFP22vlFI22mmmPPpvpvp1,EumpEuEu无因次数22vpvpEu欧拉数——压力的相似准数（4）柯西准则——弹性力是主要的力ImIPEmEPFFFF改成EmImEPIPFFFF2ElFEE——弹性模量22vlFImmmppPEvEv22（*）无因次数EvCa2柯西数——弹性力的相似准数1,CampCaCa气体EammPPavav将无因次数avM马赫数——弹性力的相似准数代入（*）式，得1,MampMaMa（5）其它准数lvW2韦伯数——表面张力的相似准数vlSr斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数lvt表面张力惯性力位变惯性力时变惯性力eTvTgdAr2000阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数惯性力重力）浮力与重力之差（有效模型律的选择雷诺准则——管流、水面下的潜艇运动、输油管道、飞机在空中的低速飞行以及隧洞中的有压流动等，粘性力起主要作用;佛汝德准则——闸孔出流、堰上出流、水面船舶运动以及明渠流动等，重力起主要作用;由于压强通常是待求的量，可能是由粘性力引起，也可能是由重力引起，所以只要当满足粘性力或重力相似时，压强相似会自动满足,即欧拉准则自动满足;水击现象的研究则采用柯西准则。可压缩气流流速接近或超过声速时，采用马赫数相等。举例:若要求几何比为20,原型中流速为1m/s,原型中流量为100L/s,原型中的作用力为1kN.分别采用粘性力相似和重力相似求模型中的流速和流量.很难实现同时满足两个以上准数相等例：若同时满足Re数相等和Fr数相等（1）同种介质（υp=υm）mmpplvlvRe：lv1Fr（gp=gm）：mmpplvlv22lvll11l失去模型实验的价值（2）不同介质（υp≠υm）mmmppplvlvRe：lvFr：lv23l10lυp——水υm——很困难如果υp——空气（15.7×10-6m2/s）υm——水（1.007×10-6m2/s）取62.311023ppm24.6l结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择相似准则，是模型实验的关键自模区——阻力平方区（与Re无关）4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型尺寸及模型的出口风速解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m原型是空气υp=15.7×10-6m2/s7103Revd属阻力平方区（自模区）因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区（Re=50000）50000107.1512.0Re6mvsmvm/5.6此时23.15.68v例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风洞中空气速度应为多少？解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则υ相同mmpplvlvhkmllvvmppm/6000120300难以实现，要改变实验条件（2）改用水sm/10007.126水sm/107.1526空气mmmppplvlvhkmllvvpmmppm/385107.15110007.12030066（3）改变压强（30at），温度不变pvlvlRehkmPlplvvmmpppm/200301120300等温过程p∝ρ，且μ相同mmmppplvplvp例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水的推力为300N，求实际流量和推力解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则2vlvAQ2lvQ佛劳德准则：lv25lQsmsLQQlmp/537/537000203003252522lvmaF22lvF温度不变的水：1由佛劳德准则lv3lFkNNFFlmp2400240000020300335.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表名称比尺雷诺准则弗劳德准则λυ=1λυ≠1长度比尺λl流速比尺λv加速度比尺λa流量比尺λQλlλl-1λl-3λlλlλυλl-1λυ2λl-3λυλlλlλl1/2λl0λl5/2名称比尺雷诺准则弗劳德准则λυ=1λυ≠1时间比尺λt力的比尺λF压强比尺λp功能比尺λW功率比尺λNλl2λρλl-2λρλlλρλl-1λρλυ-1λl2λυ2λρλυ2λl-2λρλυ2λlλρλυ3λl-1λρλl1/2λl3λρλlλρλl4λρλl7/2λρ