建筑力学4-7

§4-6弯曲应力小结钢筋混凝土梁，当外力过大时，在梁的下边缘处（弯矩最大）首先出现裂缝，然后裂缝逐渐向上扩展而导致梁的破坏。P问题的提出：钢筋混凝土梁通过本章的学习，可以知道其原因为：弯矩引起弯曲变形，使梁下部伸长，下部纤维受拉伸，拉应力超过材料的极限拉应力，引起裂缝，导致梁的破坏。PP木质梁跨度较小的木质梁且外力作用点靠近支座，当外力较大时，端部出现水平裂缝，导致破坏。通过本章的学习，可以知道其原因是梁内的最大切（剪）应力超过材料的顺纹切（剪）应力而引起的。问题的提出：一、纯弯曲时梁内的正应力MM+FQM纯弯曲梁——只有弯矩而无剪力的梁称为纯弯曲梁。横截面上只有正应力σ，无剪应力τ。矩形截面等直梁的实验观察将梁设想为由无数纵向纤维组成。M变形几何规律:1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd)变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上部分收缩、下部分伸长；横向线与纵向线变形后仍正交。中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。横截面上只有正应力。2、两个概念3、基本假设纯弯情况下的正应力计算公式zMyI(4-38)y—所求应力点到中性轴的距离。中性轴将截面分成受拉区和受压区。正应力的正负号，可根据变形来判断：凸边应力为正，凹边应力为负。Wz称为弯曲截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为[长度]3，国际单位用m3或mm3。maxmaxzMyImaxzzIWymaxzMW最大正应力：几种形状截面的抗弯截面模量：矩形截面：型钢：可查型钢表。圆形截面：2/26zzIbhWh3/232zzIdWd说明：如中性轴是截面对称轴，最大拉（压）应力在数值上相等。如中性轴不是截面对称轴，最大拉（压）应力在数值上不相等。σcmaxy1y2zσtmax二、纯弯曲理论在横力弯曲中的推广横力弯曲——梁横截面上既有弯矩又有剪力，梁弯曲后不再满足平面假设。由于切应力的存在，梁横截面变形后不再是平面，而是在横截面上发生翘曲。但当h/l＜1/5时，误差很小，已可满足工程上的需要，因此，可用纯弯曲时的正应力计算公式导出梁正应力强度条件。梁正应力强度条件：（对抗拉、抗压强度不同的材料要分别计算最大拉、压应力）解决三类强度问题：（1）强度校核（验算）：已知梁的截面尺寸，形状和梁所用的材料及梁上荷载，校核其应力。（2）选择截面：已知梁所用的材料及梁上荷载，计算截面。（3）计算梁所能承受的最大荷载：已知梁材料和截面尺寸，计算许用的[M]再计算[P]。max工作三、梁内切应力，切应力强度条件（一）矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：切应力与剪力平行；距中性轴等距离处切应力相等。IZ:整个截面对中性轴的惯性矩；b:横截面在所求应力点处的宽度；SZ*:横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积A*对中性轴的静矩。zzQbISF（4－47）y*bhyyzA**2、切应力分布规律（矩形截面）zybhA*τmaxτy注：（1）τ沿梁高按二次抛物线变化。（2）上下边缘处τ=0。（3）中性轴处切应力最大，最大切应力是平均切应力的1.5倍。（二）切应力强度条件弯曲切应力强度条件（一般做校核时用）:需校核切应力强度的情况：1、短梁（剪力大，弯矩相对小）;2、木梁,木材顺纹方向（许用切应力很小）、胶合梁的胶合层。max工作最大工作应力材料的许用应力yzdxoFQστMM+dMxFQσmaxτmaxστσmax12345四、横力弯曲时梁横截面上的应力状态σmax1σmaxσ2τ'ττστ'max3τ'maxτmaxτmax4τ'τ'ττσσ5σmaxσmax§4-7点的应力状态一、梁上任一点应力状态的分析问题：①梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？是否需要校核？②在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？PPPPPPAAσxσxτxτyσxσxτxτyefσxτxτyntxασaτa1、斜截面上的应力横截面外法线到斜截面外法线成α角。α：x→n逆时针为正。2sin2cos22xxx2cos2sin2xx2、主应力及其作用平面σα、τα随α变化，在连续变化过程中，存在最大值σαmax和最小值σαmin。sin2αo+τxcos2αo]=0dσαdα=-2[σx2由：可知：在α0和α0+90°两面上正应力具有极值，其中一个为最大值，另一个为最小值。求出α0和α0+90°代入可得：及0000090得：)159(22tan0xx代回：注：（1）主平面：最大正应力和最小正应力的作用面，主平面上的切应力为零。主应力：主平面上的正应力。（切应力为零对应面上的正应力）。（2）如要知道哪个角（α0还是α0+90°）是σmax的方位角，可求出α0代回求σα，如求出的σα等于σmax值，则σmax所在平面的方位角为α0，否则为α0+90°。（3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。）（169)2(222minmaxxxx（4－58）（4－59）σ3σxσxτxτxτyτyσ1σ1σ3（3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。梁内取出任一点A的单元体，求出σmax和σmin，一个为正值，一个为负值。同时知z方向面上的正（主）应力为零（其面上切应力也是零，可视为一个主平面）。规定：σ1＞σ2＞σ3梁单元中：σ1=σmax，σ2=0，σ3=σmin。3、梁内主应力见162页图4-108，梁上各点受力情况有三类：（1）梁上下边缘（点1和点5），只有正应力而无切应力，是主应力单元，属于单向应力状态。（2）中性轴上的各点（点3），只有切应力，该点主应力与水平轴成45°角，数值均为τx。（3）一般平面应力状态下的各点（点2、4），有正应力，也有切应力。注：两个主应力均不等于零的单元称为二向应力状态（也称平面应力状态）。σxσxτxqmm13245Q图M图12345324σ1σ3α450α450α=450mmσ3σ1σ3拉压13主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。xy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacdq31注：二向应力状态，其强度条件的校核比较复杂，需用强度理论进行。问题：①在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？②梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？PP