建筑力学―― 轴向拉伸和压缩

§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能第二章轴向拉伸和压缩§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-2内力·截面法·及轴力图§2-3应力·拉(压)杆内的应力§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律§2-5拉(压)杆内的应变能§2-7强度条件·安全因数·许用应力§2-8应力集中的概念建筑力学§2-1轴向拉伸和压缩的概念工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图建筑力学桁架的示意图受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆建筑力学§2-2内力·截面法·及轴力图内力——由外力引起的物体内部各质点间相互作用的力。一、内力根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。建筑力学（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）根据分离体的平衡求出内力值。二、截面法·轴力及轴力图N=F（1）假想地截开指定截面；步骤：NN建筑力学横截面m－m上的内力N其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左边或右边为分离体均可。轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定:当轴力背离截面产生伸长变形（拉力）为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形（压力）为负。轴力背离截面N=+FNN建筑力学用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面N=-FNN建筑力学轴力图(N图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。N图(c)N图(f)NNNN建筑力学例题2-1试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图(a)建筑力学为方便，取横截面1－1左边为分离体，假设轴力为拉力，得N1=10kN(拉力)为求轴力方便，先求出约束力FR=10kN解：N1建筑力学为方便取截面3－3右边为分离体，假设轴力为拉力。N2=50kN(拉力)N3=-5kN（压力），同理，N4=20kN(拉力)N2N3建筑力学轴力图(N图)显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN,FF思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D截面处轴力图发生突变？能否认为C截面上的轴力为55kN？NNmax=N2建筑力学例题2-2：试作此杆的轴力图。FFFqFR112233FFFFRF'=2qlFF=RFFFl2lllFq解：建筑力学2FFFq11233FF=RxFF=RFF=N1FFF=3NqFFF=RFx1N2FFlFxF1N2FFF=RFx1lFxF12NF0--201RN2lFxFFFFxN1N2N3N2N2N2建筑力学FFq=F/ll2llFN图FFF+-+建筑力学§2-3应力·拉(压)杆内的应力一、应力的概念受力构件某一截面的M点附近微面积ΔA上分布内力的平均集度称为应力，，其方向和大小一般而言，随所取ΔA的大小而不同。AFpm建筑力学该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。AFAFpAddlim0建筑力学总应力p法向分量正应力s某一截面上法向分布内力在某一点处的集度切向分量切应力t某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。建筑力学二、拉(压)杆横截面上的应力(1)与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；(2)s在横截面上的变化规律横截面上各点处s相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力N；横截面上各点处s不相等时，特定条件下也可组成轴力N。AAFdNsN建筑力学为此：1.观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。2.设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。建筑力学4.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。AFNs3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s都相等。NNN建筑力学注意：1.上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。2.即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。3.圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。建筑力学例题2-3试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN（不计砖柱自重）。建筑力学所以，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa(压应力）Ⅱ段柱横截面上的正应力12ss解：Ⅰ段柱横截面上的正应力MPa87.0Pa1087.0)m24.0()m24.0(N10506311N1AFs(压应力)MPa1.1Pa101.1m37.0m37.0N101506322N2AFs(压应力)N1N2建筑力学§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律拉(压)杆的纵向变形基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：纵向总变形Δl=l1-l（反映绝对变形量）纵向线应变（反映变形程度）ll建筑力学横向变形——与杆轴垂直方向的变形dd在基本情况下ddd-1横向变形较小。建筑力学式中：E称为弹性模量，由实验测定，其单位为Pa；EA——杆的拉伸(压缩)刚度。AFll引进比例常数E，且注意到F=N，有EAlFlN胡克定律,适用于拉(压)杆。胡克定律工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，在两端受力的情况下：N建筑力学胡克定律的另一表达形式：AFEllN1Es←单轴应力状态下的胡克定律。（在材料弹性状态下应力与应变成正比）ss低碳钢(Q235)：GPa210~GPa200Pa1010.2~Pa1000.21111EN建筑力学低碳钢(Q235)：n=0.24~0.28。ν亦即n-横向变形因数(泊松比)单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变与和该方向垂直的方向(横向)的线应变'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比：建筑力学例题2-4如图所示杆系，荷载P=100kN，试求结点A的位移ΔA。已知：a=30°，l=2m，d=25mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E=210GPa。建筑力学其中24πdA解：结点A的位移ΔA系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。由胡克定律得acos22N1N21EAPlEAlFEAlFll1.求杆的轴力及伸长acos22N1NPFF2N1NFF0-coscos2N1NPFFaa由结点A的平衡(如图)有N1N2N1N2N1N2N1N2N1N2建筑力学2.由杆的总变形求结点A的位移根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点A的铅垂线对称可知，结点A只有竖向位移(如图)。建筑力学亦即aaa221cos2coscosEAPlllΔA画杆系的变形图，确定结点A的位移aacoscos21AAAAAA由几何关系得建筑力学)(1.293mmm10293.130cos])m1025(4π)[Pa10210(2)m2)(N10100(322393AΔ从而得建筑力学§2-5拉(压)杆内的应变能应变能——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能Vε在数值上等于外力所作功W，Vε=W。应变能的单位为J（1J=1N·m）。建筑力学建筑力学拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能或EAlFEAlFFlFV221212NNNNεEAlFEAFlFlFV221212ε外力F所作功：lFW21WVε杆内应变能：lFV21εNNNN§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能一、材料的拉伸和压缩试验拉伸试样圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。矩形截面试样：或。Al3.11Al65.5建筑力学试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。(2)变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。压缩试样圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能)3~1dl正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能)3~1bl建筑力学实验装置（万能试验机）建筑力学二、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能拉伸图纵坐标——试样的抗力F(通常称为荷载)横坐标——试样工作段的伸长量建筑力学低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Δl与F成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。建筑力学(2)阶段Ⅱ——屈服阶段在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。此阶段产生的变形是不可恢复的塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时τa的绝对值最大)。asta2sin20建筑力学(3)阶段Ⅲ——强化阶段建筑力学卸载及再加载规律若在强化阶段卸载，则卸载过程中F－Δl关系为直线。可见在强化阶段中，Δl=Δle+Δlp。卸载后立即再加载时，F－Δl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。建筑力学(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。建筑力学低碳钢的应力—应变曲线(s－曲线)为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。AFsll建筑力学低碳钢s－曲线上的特征点：比例极限sp弹性极限se屈服极限ss(屈服的低限)强度极限sb(拉伸强度)Q235钢的主要强度指标：ss=240MPa，sb=390MPa建筑力学低碳钢拉伸破坏低碳钢拉伸试件建筑力学低碳钢拉伸破坏断口建筑力学低碳钢的塑性指标：伸长率%1001lll断面收缩率：%1001AAAA1——断口处最小横截面面积。Q235钢：≈60%1lQ235钢：%30~%20(通常5%的材料称为塑性材料)建筑力学三、其他金属材料在拉伸时的力学性能建筑力学由s－曲线可见：材料锰钢强铝退火球墨铸铁弹性阶段√√√屈服阶段×××强化阶段√√√局部变形阶段×√√伸长率%5%5%5建筑力学sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料建筑力学割线弹性模量用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性材料拉伸时的唯一强度指标：sb←基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。铸铁拉伸时的应力应变曲线建筑力学铸铁拉伸破坏断口建筑力学四、金属材料在压缩时的力学性能低碳钢拉、压时的ss基本相同。低碳钢压缩时s的曲线建筑力学低碳钢材料轴向压缩时的试验现象:建筑力学受压面积增大.铸铁压缩时的sb和均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学性能也只近似符合胡克定律。铸铁压缩时的s－曲线建筑力学试样沿着与横截面大致成50°－55°的斜截面发生错动而破坏。材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。建筑力学铸铁压缩破坏断口：铸铁压缩破坏建筑力学木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交各向异性材料。松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s－曲线如图。(1)木材拉伸和压缩时的力学性能木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，