第1章+流体力学的控制方程组

第1章流体力学的控制方程组1引言流体力学的三种研究方法2流体力学的控制方程组2.1基本物理学原理基本物理学原理流体力学基本控制方程连续性方程质量守恒定律动量方程牛顿第二定律能量方程能量守恒定律2.2流动模型流动模型1）有限控制体模型对于有连续性的流体，有下面两种模型：2）无穷小流体微团我们不是同时观察整个流场，而是将物理学基本原理用在这些流动模型上，从而得到流体流动方程。流动模型有限控制体模型空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内流动模型无穷小流体微团模型空间位置固定的无穷小流体微团，流体流过微团沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度2.3物质导数（运动流体微团的时间变化率）流动控制方程经常用物质导数来表达。物质导数（运动流体微团的时间变化率）沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度采用流体微团模型来理解物质导数的概念：物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图考虑非定常流动：物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图考虑非定常流动：物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图在1点做如下的泰勒级数展开：物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图这里D/Dt代表流体微团通过1点时，流体微团密度变化的瞬时时间变化率。我们把D/Dt定义为密度的物质导数。物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图注意D/Dt是给定的流体微团在空间运动时，其密度的时间变化率。我们必须跟踪运动的流体微团，注意它通过点1时密度的变化。物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数D/Dt与偏导数/t不同，/t是在固定点1时观察密度变化的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引起。物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）向量算子物质导数（运动流体微团的时间变化率）D/Dt是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）/t叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时间变化率。流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数可用于任何流场变量，比如Dp/Dt、DT/Dt等流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）人进入山洞，洞内温度比洞外温度低，正经过洞口向里进时，同时被雪球击中。洞内温度比洞外温度低所引起的温降迁移导数物质导数当地导数迁移导数被雪球击中所引起的温降当地导数总的温降物质导数物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数全微分：对时间的全导数：物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数物质导数在本质上与对时间的全导数相同。对时间的全导数：2.4速度散度及其物理意义速度散度这一表达式也经常出现在流体动力学方程中。随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内速度散度及其物理意义考虑如图所示随流体运动的控制体。这个控制体在运动中，总是由相同的流体粒子组成，因此它的质量是固定的，不随时间变化。随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内速度散度及其物理意义但是，当它运动到流体不同的区域，由于密度不同，它的体积和控制面会随着时间改变。随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内速度散度及其物理意义也就是说，随着流场特性的变化，这个质量固定的、运动着的控制体，体积不断地增大或减小，形状也在不断地改变着。速度散度及其物理意义速度散度的物理意义：是每单位体积运动着的流体微团，体积相对变化的时间变化率。2.5连续性方程2.5.1空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型连续性方程质量守恒定律通过控制面S流出控制体的净质量流量＝控制体内质量减少的时间变化率空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型通过控制面S流出控制体的净质量流量＝控制体内质量减少的时间变化率SVVdSdVt0VSdVVdSt或空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型连续性方程：0VSdVVdSt2.5.2随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型连续性方程质量守恒定律有限控制体的总质量为：VmdV随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型连续性方程：0VDdVDt2.5.3空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型连续性方程质量守恒定律流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型X方向的净流出量为：uuudxdydzudydzdxdydzxx流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型Y方向的净流出量为：vvvdydxdzvdxdzdxdydzyy流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型Z方向的净流出量为：流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型微团内质量增加的时间变化率为：dxdydzt流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型流出微团的质量流量＝微团内质量的减少uvwdxdydzdxdydzdxdydzxyzdxdydzt或0uvwtxyz空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型0uvwtxyz或0Vt连续性方程：2.5.4随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型流体微团的质量：连续性方程质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型连续性方程质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型连续性方程质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型连续性方程：2.5.5方程不同形式之间的转换0VSdVVdSt空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型0VDdVDt空间位置固定的无穷小微团模型0Vt随流体运动的无穷小微团模型方程不同形式之间的转换0VSdVVdSt空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型0Vt方程不同形式之间的转换空间位置固定的无穷小微团模型0Vt随流体运动的无穷小微团模型2.5.6积分形式与微分形式的重要注释0VSdVVdSt空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型0VDdVDt空间位置固定的无穷小微团模型0Vt随流体运动的无穷小微团模型积分形式与微分形式的重要注释积分形式的方程允许出现间断，微分形式的方程要求流动参数是连续的。因此，积分形式的方程比微分形式的方程更基础、更重要。在流动包含真实的间断（如激波）时，这一点尤其重要。2.6动量方程动量方程动量方程牛顿第二定律xxFmaFma动量方程力的两个来源：1）体积力：直接作用在流体微团整个体积微元上的力，而且作用是超距离的，比如重力，电场力，磁场力。随流体运动的无穷小微团模型动量方程力的两个来源：2）表面力：直接作用在流体微团的表面。随流体运动的无穷小微团模型动量方程表面力的两个来源：1）压力2）粘性力动量方程粘性力的两个来源：1）正应力2）切应力动量方程切应力：与流体剪切变形的时间变化率有关，如下图中的xy动量方程正应力：与流体微团体积的时间变化率有关，如下图中的xx动量方程作用在单位质量流体微团上的体积力记做，其X方向的分量为随流体运动的无穷小微团模型fxf动量方程作用在流体微团上的体积力的X方向分量＝随流体运动的无穷小微团模型xfdxdydz动量方程作用在流体微团上的X方向的压力＝动量方程作用在流体微团上的X方向的正应力＝动量方程作用在流体微团上的X方向的切应力＝动量方程作用在流体微团上的X方向总的表面力＝随流体运动的无穷小微团模型动量方程作用在流体微团上的X方向总的力：随流体运动的无穷小微团模型动量方程作用在流体微团上的X方向总的力：动量方程运动流体微团的质量：随流体运动的无穷小微团模型动量方程运动流体微团的X方向的加速度：随流体运动的无穷小微团模型动量方程由牛顿第二定理得粘性流X方向的动量方程：随流体运动的无穷小微团模型动量方程类似地，可得Y方向和Z方向的动量方程：动量方程三个方向的动量方程：以上为非守恒形式的纳维－斯托克斯方程(Navier-Stokes方程)，简称非守恒形式的N－S方程。动量方程非守恒形式的的N－S方程可以转化为如下守恒形式的N－S方程动量方程牛顿流体：流体的切应力与应变的时间变化率(也就是速度梯度)成正比。在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以看成牛顿流体。动量方程对牛顿流体，有动量方程完整的N－S方程守恒形式：2.7能量方程能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量能量方程能量守恒定律能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流体微团内能量的变化率流入微团内的净热流量＝＋体积力和表面力对微团做功的功率能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量作用于速度为V的流体微团上的体积力，做功的功率为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量对比下图作用在面adhe和面bcgf上的压力，则压力在X方向上做功的功率为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量类似地，在面abcd和面efgh上，切应力在X方向上做功的功率为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量所有表面力（包括压力、正应力、切应力）在X方向上做功的功率为：能量方程所有力（包括体积力、表面力）做功的功率总和（包括X方向、Y方向、Z方向）为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流体微团内能量的变化率流入微团内的净热流量＝＋体积力和表面力对微团做功的功率能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：1）体积加热，如吸收或释放的热辐射。能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：2）由温度梯度导致的跨过表面的热输运，即热传导。能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量定义为单位质量的体积加热率；运动流体微团的质量为，因此，微团的体积加热为能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量考虑面adhe和面bcgf，热传导在X方向对流体微团的加热为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量热传导在X、Y、Z三个方向对流体微团的加热为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量因此，流入微团内的净热流量为：能量方程根据傅立叶热传导定律，热传导产生的热流与当地的