第三章 三角函数、解三角形第四节 三角函数的图象与性质

第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质微知识·小题练微考点·大课堂★★★2018考纲考题考情★★★考纲要求真题举例命题角度1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性2017·全国卷Ⅱ·T14(5分)(三角函数的最大值)2017·全国卷Ⅲ·T6(5分)(三角函数的周期性、对称性、单调性)2016·天津高考·T15(13分)(三角函数的周期性、单调性)2016·山东高考·T7(5分)(三角函数的周期性)1.三角函数的定义域2．三角函数的值域与最值3．三角函数的单调性4．三角函数的周期性、奇偶性、对称性微知识·小题练自|主|全|排|查1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是___________、_______、________、__________、__________。(0,0)π2，1(π，0)32π，－1(2π，0)2．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR__________________图象值域_______________________{x|x≠kπ＋π2(k∈Z)}[－1,1][－1,1]R函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称轴：____________________；对称中心：____________________对称轴：____________；对称中心：_____________对称中心：_______________周期______________________x＝kπ＋π2(k∈Z)(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)kπ＋π2，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)2π2ππ函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性单调增区间____________________；单调减区间______________________单调增区间____________________________；单调减区间______________________________单调增区间______________奇偶性______________________________2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)奇函数偶函数奇函数重点微提醒1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|。2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω0时，才能把(ωx＋φ)看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解。3．函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)。4．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数。小|题|快|速|练一、回归教材1．(必修4P46A组T2,3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2解析最小正周期T＝2π2＝π，最大值A＝2－1＝1。故选A。答案A2．(必修4P40练习T4)下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2及π2，π上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在π2，π及－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数解析函数y＝4sinx在－π，－π2和π2，π上单调递减，在－π2，π2上单调递增。故选B。答案B二、小题查验1．函数f(x)＝cos2x－π6的最小正周期是()A．π2B．πC．2πD．4π解析最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π。故选B。答案B2．函数y＝tan2x的定义域是()A．x|x≠kπ＋π4，k∈ZB．x|x≠kπ2＋π8，k∈ZC．x|x≠kπ＋π8，k∈ZD．x|x≠kπ2＋π4，k∈Z解析由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以y＝tan2x的定义域为x|x≠kπ2＋π4，k∈Z。故选D。答案D3．函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()A．－32，32B．－32，3C．－332，332D．－332，3解析当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即f(x)的值域为－32，3。故选B。答案B4．已知函数f(x)＝4sinπ3－2x，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递减区间是()A．－712π，－π12B．－π，－π2C．－π，－712π，－π12，0D．－π，－512π，－π12，0解析f(x)＝4sinπ3－2x＝－4sin2x－π3。由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ≤x≤512π＋kπ(k∈Z)。所以函数f(x)的递减区间是－π12＋kπ，512π＋kπ(k∈Z)。因为x∈[－π，0]，所以函数f(x)的递减区间是－π，－712π，－π12，0。故选C。答案C5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6的值为_________。解析因为fπ6＋x＝fπ6－x，所以x＝π6是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，fπ6＝±2。答案2或－2微考点·大课堂考点一三角函数的定义域【典例1】(1)不等式3＋2cosx≥0的解集是_________。解析(1)由3＋2cosx≥0，得cosx≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx≥－32的解集为x|－5π6≤x≤56π，故原不等式的解集为x|－56π＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z。答案(1)x|－56π＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z(2)函数f(x)＝64－x2＋log2(2sinx－1)的定义域是_________。解析(2)由题意，得64－x2≥0，①2sinx－10，②由①得－8≤x≤8，由②得sinx12，由正弦曲线得π6＋2kπx56π＋2kπ(k∈Z)。所以不等式组的解集为－116π，－76π∪π6，56π∪13π6，8。答案(2)－116π，－76π∪π6，56π∪13π6，81．三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式。(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式。2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解。(2)利用三角函数的图象求解。(2)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为_________。解析(2)要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z。答案(2)x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z【变式训练】(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为_________。解析(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0。利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示。在[0,2π]上，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z。答案(1)x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z解析：sinx－cosx＝2sinx－π4≥0，将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)。所以定义域为x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z。考点二三角函数的值域与最值【典例2】(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是_________。解析(1)f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1，cosx∈[0,1]，当cosx＝32时，f(x)取得最大值1。答案(1)1(2)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，－π3≤x≤π6，则f(x)的最大值为()A．1B．2C．3D．3＋1解析(2)f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6。因为－π3≤x≤π6，所以－π6≤x＋π6≤π3，故当x＝π6时，f(x)取最大值为3，故选C。答案(2)C求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型1．形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)。2．形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)。【变式训练】(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x的最大值为()A．4B．5C．6D．7解析(1)由f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，所以当sinx＝1时函数的最大值为5，故选B。答案(1)B(2)(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是_________。解析(2)由x∈－π3，a，知x＋π6∈－π6，a＋π6。因为x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1，所以由函数的图象知π2≤a＋π6≤7π6，所以π3