MATLAB线性代数,数值积分

矩阵的基本运算解线性方程组矩阵特征值、特征向量用数值方法计算定积分矩阵的基本运算注意k是一个数，A是一个矩阵k*AA\BAX=B,X=A-1B,A必须是方阵数乘矩阵的左除矩阵的右除A/BXB=A,X=AB-1,B必须是方阵矩阵的行列式det(A)A必须为方阵矩阵的逆inv(A)A必须为方阵，|A|‡0矩阵的乘幂A^nA必须为方阵，n是正整数矩阵行变换化简rref(A)求A阶梯形的行最简形式P82表5-1矩阵的特征值、特征向量、特征多项式[V,D]=eig(A)例1A=[1,-1;2,4];[V,D]=eig(A)ansV=-985/13931292/2889985/1393-2584/2889方阵A的特征向量矩阵D=2003方阵A的特征值矩阵矩阵的特征值、特征向量、特征多项式p=poly(A)若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数；若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。例1A=[1,-1;2,4];p=poly(A)poly2str(p,’x’)poly2str(p,’x’)得到多项式的习惯形式ansp=[1-56]x^2-5x+6解线性方程组1、逆矩阵法（求逆法）X=1.40000.4000解：例1：求方程组的解2341xyxyA=[2,3;1,-1];b=[4;1]X=inv(A)*b相当于234111xyans方程的解是：x=1.4,y=0.4A=[2,3;1,-1];b=[4;1]X=A\b逆矩阵法（左除与右除法）例1：求方程组的解2341xyxy解线性方程组解：ansX=1.40000.4000方程的解是：x=1.4,y=0.4相当于AX=b,X=A\bAX=BX=A\BXA=BX=B/A2、初等变换法解线性方程组在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为：1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”去掉；2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非零的数，那么方程无解。否则有解；3、在有解的情况下：如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组有无穷多个解。例5-21求齐次线性方程组的通解12341234123481020245038620xxxxxxxxxxxx解：Matlab命令为104001-3/4-1/40000ans=A=[1-8102;245-1;386-2];系数矩阵rref(A)行的最简形式解线性方程组分析：将0=0的一行去掉，则原方程组等价于1323443144xxxxx方程的个数未知量个数有无穷多个解取3413xx3404xx得1240xx取得1201xx基础解系为14013，20104所以方程的通解为12123440011034xxkkxx其中k1,k2是任意实数解线性方程组例5-22求非齐次线性方程组的通解解：MATLAB命令为：B=[1-1-110;1-11-31;1-1-23-1/2];rref(B)ans=1-10-11/2001-21/2000001234123412340311232xxxxxxxxxxxx分析：原方程组对应的同解方程组为：1243412122xxxxx方程的个数未知量个数有无穷多个解120120其中一个特解为：再求解对应的齐次线性方程组可得到一个基础解系：124342xxxxx1110021021所以方程的通解为解线性方程组1,2()ccR12123411121000212010xxccxx例求非齐次线性方程组的通解12312312422312101138xxxxxxxx解：Matlab命令为B=[42-12;3-1210;11308];rref(B)解线性方程组ans=103/10001-11/1000001结果分析：行最简形式中最后一行出现了零等于非零的情况，故方程组无解。解线性方程组用数值方法计算定积分yxaby=f(x)的几何意义()bafxdx有三种方法：1、矩形法2、复合梯形公式3、复合辛普生公式P1451204,1dxx例1计算定积分与精确值比较。h=0.01;x=0:h:1;y=4./(1+x.^2);formatlongz1=sum(y(1:length(x)-1))*h%左矩形公式z2=sum(y(2:length(x)))*h%右矩形公式解MATLAB命令为:1、使用矩形法求定积分输出结果：z1=3.151575986923129z2=3.131575986923129u1=0.0100u2=-0.0100formatshortu1=z1-pi,u2=z2-pi2、复合梯形公式用小梯形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值，比矩形法精度高。命令：trapz(x,y)相当于求1()(1)2niiyiyix3、复合辛普生公式用抛物线代替小曲边梯形的曲边计算小面积，然后求和以获得定积分的近似值，精度比前两种方法高。命令：quad(‘fun’,a,b)1、式中fun是被积函数表达式字符串或者是M函数文件；2、a,b是积分的下限与上限；3、tol代表精度，可以缺省（tol=0.001）；例3用三种方法计算定积分210sin1xdxx的值。解:编程如下：x=0:0.01:1;y=sin(x.^2)./(x+1);s1=sum(y(1:100))*0.01s2=sum(y(2:101))*0.01s3=trapz(x,y)s4=quad(‘sin(x.^2)./(x+1)’,0,1)s4=0.1808运行结果为：s1=0.1787s2=0.1829s3=0.18080.1808.按左矩形公式计算结果是0.1787，按右矩形公式计算结果是0.1829，按梯形法和辛普生法计算结果都是建立函数文件jifen.m：functiony=jifen(x)y=sin(x.^2)./(x+1);s=quad('jifen',0,1)编程如下：练习P11521(4)P16717(3)作业第七章习题P16717.(2)18P11521.(1),(2)P11412,14名称：线性代数相关运算及数值方法计算定积分目的：掌握矩阵的基本运算、特征值、特征向量和线性方程组的求解；能熟练运用数值方法求定积分