第10次课补充GPS水准面拟合方法

水准面拟合点密度优化选择方法研究作者：姚吉利目的：为实际GPS测量提供布设GPS水准点的理论依据，既要达到预期的精度，又要减少劳动强度。从根本上用GPS水准测量代替劳动很大的几何水准测量。主要内容有三：1、GPS水准点分类首先引入GPS水准点密度分辨率的概念（简称密度分辨率），把GPS水准点分为拟合点和检查点两种，用检查点与用拟合点所得到的大地水准面内插得到的高程比较，得到大地水准面的精度。2、GPS水位面拟合分别采用六参数法、多面函数法、移动曲面拟合法、有限元法四种拟合大地水准面，并用检查点数据评定大地水准面精度。3、实例与分析通过对实测数据的计算分析得到结论。结论：具有分区拟合性质的移动曲面拟合法与有限元法精度较优；实测三等水准联合GPS高程观测，通过大地水准面得到的正常高可取代四等水准测量；密度分辨率为2000米，用有限元法拟合出的大地水准面和GPS正常高能代替四等水准测量。GPS能提供地面点精确的三维坐标值，其高程信息是依据于椭球面的，而我国使用的高程信息是依据于似大地水准面的，为充分利用GPS所提供的高程信息，研究利用GPS测出的地面点的大地高来求其高程是GPS应用的一个重要方面。一、目的和意义似大地水准面是有起伏的、连续光滑的，但不像地表，我们不能看见山谷线、山脊线等特征线，特征线上的特征点我们无法确定，所以只能布设一定密度、一定精度的GPS水准点去拟合，就产生了多大密度？（工作量大小）能达到什么样精度？（成果的可靠性）一、目的和意义正常高：是地面点延铅垂线至似大地水准面的距离，用Hr表示。似大地水准面和参考椭球面（WGS84）之间的距离，称为高程异常，用ζ表示。则大地高与正常高之间的关系可表示为二、GPS水准测量原理HH如果知道其中两个量就可计算出第三个量，如GPS测量得到大地高，在知道高程异常情况下，就可计算出正常高。这就是GPS水准测量的原理。三、拟合点密度优化选择╳╳╳╳δ（1）将测区以合适单位长度分成若干单元格，单元格大小叫做GPS水准密度分辨率，用δ表示。格内可能有多个点，也可能一个也没有。（2）单元格内点的确定。若单元格内无GPS水准点，则选择到格网最近点作为本单元的点；单元格内有多个GPS水准点，若同时满足2121yyyxxx的点为GPS拟合点的侯选点，也就是，由（x1,y2）和(x2,y2)确定的格内。拟合点密度优化选择（续）（3）单元格拟合点的确定。选取距离中心点最近的ＧＰＳ侯选点作为该单元的拟合点，单元格内其余点作为检查点。拟合点密度优化选择（续）拟合精度用拟合中误差表示N式中△是检查点上用拟合高程异常曲面内插出的高程与观测高程之差四、大地水准面拟合方法大地水准面差距（高程异常）的确定方法地球重力场模型法斯托克司方法卫星无线电测高方法GPS高程拟合法最小二乘配置法大地水准面拟合方法六参数法多面函数法移动曲面拟合法有限元法分区拟合法1六参数法利用公共点上GPS测定的大地高和水准测量测定的正常高计算出该点上的高程异常，存在一个这样的公共点，就可以依据上式列出一个方程：若共存在n个这样的公共点，可列出误差方程：利用最小二乘法可求出系数。25243210iiiiiiiybxbyxbybxbbnnnnnnnnlllbbbbbbyxyxyxyxyxyxyxyxyxvvv21543210222222222221211111211112多面函数法Hardy教授提出的多面函数法的基本思想是：任何不规则连续曲面总可以用K个规则曲面的叠加来逼近。根据这一思想，高程异常函数可表示为(3-2-1)若有个数据点，可任选其中n个(或全选)为核函数的中心点，令(3-2-3)kiiiiyxyxQayx1,;,,nmjjjyxP,jjiiijyxyxQQ,;,由此可列出误差方程：(3-2-5)法化求解得(3-2-7)任意一点上的高程异常为(3-2-8)mnmnmmnnmaaaQQQQQQQQQvvv212121222211121121TTQQQa1kkkyxP,nkkTTTkTkkQQQQaQ13移动曲面拟合法移动曲面拟合法是以每一待定点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点。其过程如下：（1）检索相邻数据点（2）移动相邻点坐标圆点（3）列出误差方程式（4）计算每一数据点的权（5）法化求解4有限元法为了拟合一个曲面，把他分成许多适当大小的‘单元’，用大量的有限元面积来趋近它，这就是有限元法。点A(x,y)的函数值可由其所在格网四个顶点的函数值按一次样条函数表示为:(3-4-1)由（3-4-1）式可列出一类观测值误差方程式。yx,1,1,1,1,,,,jijijijiCCCC1,11,,1,1111,jijijijiyCxyCxCyxCyxyx为了保证地面的圆滑，可利用x和y方向上的二次差分条件，构成第二类虚拟观测值误差方程式：(3-4-2)若数据点A的高程的权为，平差的原则是(3-4-3)02,,1,,1jijijixhhhjiv02,1,1,1,jijijiyhhhjivAhAp最小nimjynimjxSKKKjivjivpv1122121212,,5分区拟合法若拟合区域较大，可采用分区拟合的方法，即将整个GPS网划分为若干区域，利用位于各个区域中的已知点分别拟合出该区域中的各点的高程异常值，从而确定出它们的正常高。图3-2分区拟合示意图五、算例分析与结论为了验证本文方法的可靠性，收集某测区GPS水准点资料。测区面积约160平方公里，共有299个点GPS水准点，点的分布并不规则，密度亦不均匀。GPS点均是D级和E级静态观测，水准是三等。我们并不直接采用299个点去拟合该点的高程异常曲面，而是把测区分成密度分辨率分别为1000米、1250米、1500米、2000米的网格。拟合点和检查点选择结果见下图4.1354.144.1454.154.1554.164.1654.17x1064.654.74.754.84.854.94.9555.055.15.15x105分辩率为1000m的选点图xy4.1354.144.1454.154.1554.164.1654.17x1064.654.74.754.84.854.94.9555.055.15.15x105分辨率为1250m的选点图xy4.1354.144.1454.154.1554.164.1654.17x1064.654.74.754.84.854.94.9555.055.15.15x105分辨率为1500m的选点图xy4.1354.144.1454.154.1554.164.1654.17x1064.654.74.754.84.854.94.9555.055.15.15x105分辨率为2000m的选点图xy1500米分辨率选点图2000米分辨率选点图1250米分辨率选点图1500米分辨率选点图分辨率拟合点数检查点数总点数1000米261382991250米237622991500米203962992000米12970299表1不同分辨率选点结果统统计拟合方法1000米分辨率拟合精度（cm）1250米分辨率拟合精度（cm）1500米分辨率拟合精度（cm）2000米分辨率拟合精度（cm）六参数法1.601.902.082.08多面函数法2.902.264.2611.7移动曲面拟合法0.991.191.941.92有限元法0.821.011.601.70表2各种分辨率、方法拟合精度比较0510152025303540-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.061000m分辨率的拟合误差比较检查点序列拟合误差（m2）六参数法多面函数法移动曲面拟合法有限元法六参数法多面函数法移动曲面拟合法有限元法010203040506070-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.061250m分辨率的拟合误差比较检查点序列拟合误差(m2)六参数法多面函数法移动曲面拟合法有限元法0102030405060708090100-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.41500m分辨率拟合误差比较检查点序列拟合误差(m2)六参数法多面函数法移动曲面拟合法有限元法020406080100120140160180-1.5-1-0.500.512000m分辨率的拟合误差比较检查点序列拟合误差(m2)六参数法多面函数法移动曲面拟合法有限元法六、结论某一区域的GPS高程拟合与模型的选择有很大的关系，选择某一模型的时候,既要横向比较，即同一模型不同条件之间比较，也要纵向比较，即不同模型之间比较。对于测区面积不大的平坦地区,特别是测区内高程异常变化有规律的地区，公共点分布均匀的情况下，多项式曲面拟合法能达到比较理想的精度。六参数法和移动曲面拟合法就可满足精度要求，实测GPS水准的拟合结果可取代四等水准测量。有限元法的拟合结果可取代三等和四等水准测量。有限元法和移动曲面拟合法拟合精度均较高，有限元法拟合精度又稍高于移动曲面拟合法，之所以会如此，是因为有限元法和移动曲面拟合法中未知点的高程异常均只和邻近的点相关，与相距较远的点无关。从计算速度来看，移动曲面拟合法优于有限元法。多面函数法拟合误差较大，原因是密度太小或平滑因子选择不正确。最后的结论是只要建立高精度区域性似大地水准面，GPS水准可代替三、四等水准测量，可把人们从繁重的水准测量中解放出来。欢迎到山东理工大学交流！不足之处，请批评指正！谢谢大家！