第三章 多维随机变量及其分布(第1 -- 5节)

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量在有些随机现象中，每次试验的结果不能只用一个随机变量来描述，而要同时用几个随机变量来描述。如对于钢的成分的研究，需要同时指出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研究它们之间的联系，就应当同时考虑若干个随机变量（即多维随机变量）及其取值规律---多维分布。本章着重介绍二维的情况，至于二维以上的情况可由二维类似推得。一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是S，再设X和Y是定义在S上两个随机变量。由它们构成的一个二维向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地研究X和Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。和一维的情况类似，我们也是借助于“分布函数”来研究二维随机变量。定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数)}(){(),(yYxXPyxF},{yYxXP称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量X和Y的联合分布函数。xy(x,y)},{2121yYyxXxP},{22yYxXP},{12yYxXP},{21yYxXP}.,{11yYxXP).,(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxFxy(x2,y2)(x1,y1)分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)F(x,y)是变量x,y的单调不减函数，即对于任意固定的y,当x2x1时,有),,(),(12yxFyxF对于任意固定的x,当y2y1时,有);,(),(12yxFyxF(2)且,1),(0yxF对于任意固定的y，有,0),(lim),(yxFyFx对于任意固定的x，有,0),(lim),(yxFxFy,0),(lim),(yxFFyx.1),(lim),(yxFFyx(3)F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续，).,()0,(),,(),0(yxFyxFyxFyxF即如二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或无限可列对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为),2,1,(),(jiyxji),2,1,(,},{jipyYxXPijji记则称上述一系列等式为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律，或随机变量X和Y的联合概率分布律。显然有：,0ijp.1ijijp随机变量X和Y的联合概率分布律也可用表格表示ixxx21XY121111ixppy222122ixppyijjjjxppy21例1：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。解：(X,Y)的所有可能的取值为：X等可能地取1,2,3,4中的一个，Y等可能地取1到X之间的整数值。},{jYiXP且}{}|{iXPiXjYPi141.,4,3,2,1,41ijii对应的概率分布表可参见教材第77页。离散型随机变量X和Y的联合分布函数F(x,y)具有形式：xixyjyijpyxF,),(.,,求和的其中和式是对一切满足jiyyxxji与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量的分布函数F(x,y),如果存在非负的函数f(x,y),使得对任意的实数x,y，有yxdudvvufyxF,),(),(则称(X,Y)是连续型二维随机变量，而f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度。联合概率密度f(x,y)具有以下的性质：,0),()1(yxf,1),(),()2(Fdxdyyxf则连续，在点若),(),()3(yxyxf),,(),(2yxfyxyxF(4)设G是xoy平面上的一个区域，则点(X,Y)落在G内的概率.),(}),{(GdxdyyxfGYXP例2：设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf}.0{)2(;)1(XYPA概率常数求解：dxdyyxf),(1)1(dxdyyxRARyx22222)(RrdrrRdA020)(,33RA.33RA例2：设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度为222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf}.0{)2(;)1(XYPA概率常数求解：xyy=xGG1}0{)2(XYP概率GdxdyyxfGYXP),(}),{(1223)(3GdxdyyxRRRrdrrRdR0403)(3.81课外习题第104页1，3第二节边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)。但X，Y都是随机变量，分别也有自身的分布函数。如将它们分别记为),(xFX),(yFY则依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。}{)(xXPxFX},{yxXP),,(xF同理可得).,()(yFyFY对于离散型随机变量(X,Y),xixyjyijpyxF,),(因为),()(xFxFX所以xixjijp1xixixXP}{),2,1(}{1ipxXPjiji所以),2,1(}{1jpyYPiijj同理),2,1(}{1ipxXPjiji),2,1(}{1jpyYPiijj记),2,1(}{1ixXPppijiji),2,1(}{1jyYPppjiijj分别称上述两式为二维离散型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。对于二维连续型随机变量(X,Y)，设其概率密度为f(x,y)。),()(xFxFX由xdxdyyxf]),([知X是一连续型随机变量，具有概率密度函数为.),()(dyyxfxfX同理,Y也是一连续型随机变量,其概率密度函数为.),()(dxyxfyfY它们分别被称为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数。例1：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下：求关于X和关于Y的边缘分布律。012/112/3212/112/112/22/312/3012/10211XY),2,1(}{1ixXPppijiji),2,1(}{1jyYPppjiijj3/16/12/1ip3/13/13/1jp例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：其它00,10)2(8.4),(xyxxyyxf求关于X和关于Y的边缘分布密度。解：dyyxfxfX),()(1y=xxxdyxyxx010)2(8.41,00或10)2(4.21,002xxxxx或例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：其它00,10)2(8.4),(xyxxyyxf求关于X和关于Y的边缘分布密度。解：dxyxfyfY),()(1y=x110)2(8.41,00yydxxyyy或10)2223(8.41,002yyyyyy或例3：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：]},)())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221yyxxyxf.11,0,0,,,,212121且都是常数，其中的二维正态分布，服从参数为则称,,,,),(2121YX),,,,(~),(222121NYX记为),,,,(~),(222121NYX如果则可求得xexfxX21212)(121)(yeyfxY22222)(221)(由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖参数,亦即对于给定的不同的对于不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。,,,,2121这一事实表明，由联合分布可确定边缘分布，但反之不然。课外习题第104页4，7第三节条件分布设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为),2,1,(,},{jipyYxXPijji(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为),2,1(,}{1,ippxXPjijii),2,1(,}{1,jppyYPiijjj),2,1(}|{iyYxXPji即求,0,jp设}{jyY我们来考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率：}{ixX显然}{},{}|{jjijiyYPyYxXPyYxXP),2,1(,ippjji易知，上述条件概率具有分布律的特征：),2,1(,0}|{)1(iyYxXPji1,1}|{)2(ijjiijippyYxXP1,1ijijpp.1于是，我们有定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对固定的j，,0}{jyYP若),2,1(}|{,,ippyYxXPjjiji则称为在条件下随机变量X的条件分布律。jyY同理，对于固定的i，,0}{ixXP若),2,1(}|{,,jppxXyYPijiij则称为在条件下随机变量Y的条件分布律。ixX现设(X,Y)是二维连续型随机变量，这时由于对任意的X,Y,有,0}{xXP,0}{yYP因此不能由条件概率公式直接引入“条件分布函数”，下面我们用极限方式来处理。给定y，，设对任意固定的0,0}{yYyP于是对任意x，有,}{},{}|{yYyPyYyxXPyYyxXP由此引入下述定义：定义：给定y，，设对任意固定的0,0}{yYyP有且对任意x，极限存在，}{},{lim}|{lim00yYyPyYyxXPyYyxXP则称此极限为在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数，}|{yYxXP记为).|(|yxFYX或设(X,Y)的分布函数为F(x,y),概率密度为f(x,y)，若在点(x,y)处，f(x,y)连续，边缘概率密度连续，且)(yfY,0)(yfY则有}{},{lim)|(0|yYyPyYyxXPyxFYX)()(),(),(lim0yFyFyxFyxFYY/)]()([/)],(),([lim0yFyFyxFyxFYYdyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYx.)(),(xYduyfyuf.)(),()|(|xYYXduyfyufyxF条件概率密度，的下随机变量为在条件若记XyYyxfYX)|(|则由上式可得.)(),()|(|yfyxfyxfYYX.)(),()|()|(||xfyxfxyfxyFXXYXY和同理可定义例1：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有概率密度其它0),(1),(GyxAyxf则称(X,Y)在G上服从均匀分布。现设二维随机变量(X,Y)在圆上服从均匀分布，求条件概率密度122yx).|(|yxfYX解：由假设随机变量(X,Y)具有概率密度其它011),(22yx