清华大学 任玉新---高等计算流体力学

1主要内容任玉新1.Basics2.Methodsforcompressibleflows1)ThemathematicalpropertiesofEulerequations2)Shockwaveandentropyconditions3)RiemannproblemandtheGodunovscheme4)ApproximateRiemannsolvers:HLLsolverandRoesolver5)TVDscheme6)ENO/WENOscheme7)Thecompactscheme23.Methodsforincompressibleflows1)Thestaggeredandthecolocatedgrids2)TheMACmethod3)TheSIMPLEmethod4)Theprojectionmethod5)Othermethods6)SolutionofN-SequationsonthenonstaggeredgridReferences[1]E.F.Toro,Riemannsolversandnumericalmethodsforfluiddynamics,Springer,1997(Firstedition)[2]J.D.Anderson,Computationalfluiddynamics:basicswithapplications,Springer(清华大学出版社影印版)3[3]BarthandDeconinck(eds.)Highordermethodforcomputationalphysics,LectureNotesinComputationalScienceandEngineering,9.Springer,1999[4]FerzigerandPeric,Computationalmethodforfluiddynamics,Springer,1996[5]T.J.Chung,Computationalfluiddynamics,CambridgeUniversityPress,2002[6]J.W.Thomas,Numericalpartialdifferentialequations:conservationlawsandellipticequations.Textsinappliedmathematics33,Springer,1999[7]吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社，2002.[8]SherrieL.Krist,RobertT.Biedron,ChristopherL.Rumsey，CFL3DUser＇sManual,TheNASALangleyResearchCenter,Hampton,VA[9]S.K.Lele,J.Comput.Phys.103,16(1992)[10]S.Pirozzoli,J.Comput.Phys.178(2002)[11]Yu-XinRen,Miao＇erLiu,HanxinZhang,J.Comput.Phys.192(2003)4FTP:166.111.37.201Usr:cfdPasswd:cfd2005Email：[e-mail]高等计算流体力学讲义(1)第一章计算流体力学基本原理第1节流体力学基本方程一、非定常可压缩Navier－Stokes方程5不计品质力的情况下，在直角坐标系中，守恒型N－S方程可以写为下列向量形式：()()()0vvvtxyzUFFGGHH，(1)其中uvwEU2()uupuvuwEpuF2()vvuvpvwEpvG2()wuwvwwpEpwH，0xxxyvxzxxxyxzTuvwkxF0xyyyvyzxyyyyzTuvwkyG，60xzzyvzzxzzyzzTuvwkzH。如果忽略N－S方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为Euler方程：0txyzUFGH。方程、称为向量守恒型方程。其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中，,,,,,,vvvUFGHFGH均為列向量，U是方程的解向量，稱為守恆變數；,,,,,vvvFGHFGH稱為通量（flux），具體說,,FGH為無粘通量，,,vvvFGH為粘性通量。所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。，式所示的向量型守恒方程，实际上仍然是散度形式。显然，，式的另一种等价形式为：0tUE，(2)其中()()()vvvEFFiGGjHHk，或EFiGjHk，通量張量，,,ijk為直角坐標系三個坐標軸方向的單位基向量。把式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss公式，有70SddStUEn。这就是守恒积分型方程。可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程，而、或是则是有限差分方法的出发方程。二、流体力学方程的简化形式根据具体流动状态，N－S方程可以进行各种简化。简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。这里我们对于各种简化方程作一归纳，见下图：89图1.N－S方程的简化形式三、曲线坐标系中的基本方程当求解域的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式。在曲线座标中，向量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的形式。最简单，应用也最普遍的形式是向量分量为直角坐标系中的分量。下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。直角坐标到曲线座标的变换及其逆变换关系为：(,)(,)xyxy(3)(,)(,)xxyy(4)1、导数的变换对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有xxx。同理可得10yyy。对于二阶偏导数，有222222222222222()()()[][]()2()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx。同理可得222222222()2()yyyyyyyyy，222222()xyxyxyxyyxxyxy。把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace方程22220xy为例，把上述二阶导数的变换关系代入上述Laplace方程，得11222222222[()()]2[][()()]()()0xyxxyyxyxxyyxxyy。2、度量系数及其计算方法在導數的座標變換公式中涉及到下列座標變換係數：,,,xyxy。这些系数称为座标变换公式对应的度量系数（metrics）。我們看到，為了求解計算平面中的偏微分方程，如错误!未找到引用源。式，必須確定度量係數（有時還包括,,,,,xxxyyyxxxyyy等）的離散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道座标变换关系、的离散运算式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接構造,,,xyxy的差分近似是不容易的。以x為例，根據偏導數的意義，x為y保持不變時隨x的變化，如圖2所示，網格點P處的x的計算公式應為：12)QPxPQPxx。由於Q一般不是網格點，因此,QQx是未知的，只能通過插值方法確定。另一方面，我們可以定義逆變換(4)式的度量係數,,,xxyy。在贴体坐标系中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。如果采用中心差分离散，有圖2x的計算PQ131,1,,,1,1,1,1,,,1,1,)2)2)2)2ijijijijijijijijijijijijxxxxxxyyyyyy。這就提示我們，如果能夠找到,,,xyxy和,,,xxyy之間的關係，我們就可以得到,,,xyxy等的計算方法。下面，我们推导二者之间的关系。由变换关系式，有xyxyddxdyddxdy，写成矩阵形式xyxyddxddy。由逆变换式，有xxdxdyydyd。、式中的矩阵称为正变换和逆变换的Jacobi矩阵。由、易知141xyxyxxyy，(5)即1xyxyyxyxJ，(6)其中1xyxyxxJxyxyyy(7)为座标变换的Jacobi行列式（jacobian）。因此，1111xxyyyJyJxJxJ。根據错误!未找到引用源。、(7)、错误!未找到引用源。式，可以得到,,,xyxy的差分離散形式。如何計算,,,,,xxxyyyxxxyyy呢？考虑1510xyxyxyxy。根据式，我们同样可以得到11xyyJxJ。現在，把错误!未找到引用源。式分別對,求導：1622()()()()()()2()0()()()()()xyxyxyxxxyxyyyxyxxxyyyxyxyxyxyxxxyxyyyxxyxyxyxyxxyyxyxxyyxyxyxyxyxyxxyy()0()()()()()()0()()yxxxyyyxyxyxyxyxxxyxyyyxyxxxyyyxyxyxxyxxxyxyyyxyxyxyxyxyxxyyxyxxxyxyyyxyxy22()()()()2()0yxyxxxyxyyyxyxxxyyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxy，上面四个关系中，只有三个是独立的，写成矩阵形式，有：2222()2()()()2()xyxxxyxyyyxyxyxxyyxxxyxyyyxyxxyyxy。17所以12222()2()()()2()xyxxxyxyyyxyxyxxyyxxxyxyyyxyxxy