统计学CH07

LOGO7.1第7章隨機變數和間斷機率分配Copyright©2010CengageLearning7.2隨機變數一個隨機變數(randomvariable)是一個函數或法則，它指派一個數值給每一個實驗的可能結果。簡而言之，一個隨機變數的值是一個數值事件。取代銅板投擲的事件為{正面,反面}將它當作“投擲一個銅板為正面的次數”{1,0}(數值的事件)第7章隨機變數和間斷機率分配第223頁Copyright©2010CengageLearning7.3兩種類型的隨機變數間斷隨機變數(discreterandomvariable)–值是可計數的。–例如：定義X是在投擲10次銅板的實驗中所觀察到出現正面的次數，X的值是0,1,2,...,10。連續隨機變數(continuousrandomvariable)–值是不可計數的–例如：時間30分鐘，它是30.1分鐘？30.01分鐘？還是30.001分鐘？類推:整數是間斷的，真實的數字是連續的。第7章隨機變數和間斷機率分配第223頁Copyright©2010CengageLearning7.4一個機率分配(probabilitydistribution)是一個表格、公式或圖形，用來描述隨機變數的數值以及與這些數值相關的機率。由於我們描述隨機變數(可以是間斷或連續的)，我們有兩種機率分配的類型：–間斷機率分配（在本章）與–連續機率分配（第8章）機率分配第7章隨機變數和間斷機率分配第224頁Copyright©2010CengageLearning7.5機率分配一個大寫的字母將用來表示隨機變數的名稱(name)，通常以X表示。它的小寫字母將用以表示此隨機變數的數值。我們表示隨機變數X將會等於x的機率為P(X=x)或更簡單的P(x)第7章隨機變數和間斷機率分配第225頁Copyright©2010CengageLearning7.6間斷機率分配一個間斷隨機變數數值的機率可以藉由如樹狀圖等機率工具或是由應用某一種機率的定義而得到。但是，下列說明的兩個基本條件是必要的：1.對所有可能的x值2.第7章隨機變數和間斷機率分配第225頁Copyright©2010CengageLearning7.7範例7.1《美國統計摘要》(StatisticalAbstractoftheUnitedStates)每年出版一次。它的內容包括人口普查和其他來源的各種廣泛資訊。其目的是提供美國居民生活上各種層面的資訊。其中一個問題是要求這些家庭報告家中擁有的彩色電視機的數量。下列是彙整的資料表。定義隨機變數為每戶家庭彩色電視機的數量，展示其機率分配。第7章隨機變數和間斷機率分配第225頁Copyright©2010CengageLearning7.8範例7.1第7章隨機變數和間斷機率分配第226頁Copyright©2010CengageLearning7.9範例7.1我們將每一個X數值對應的次數除以家庭總數，產生下列的機率分配例如：P(X=4)=P(4)=.076=7.6%第7章隨機變數和間斷機率分配第226頁1,218÷101,501=0.012Copyright©2010CengageLearning7.10範例7.1例如：隨機選取的一戶家庭擁有2台或更多台彩色電視機的機率是？「擁有2台或更多台彩色電視機的機率」P(X2)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=.374+.191+.076+.028=.669第7章隨機變數和間斷機率分配第226頁Copyright©2010CengageLearning7.11範例7.2一位共同基金的銷售員安排了明天要打電話給三個人。基於過去的經驗，這位銷售員知道每一通電話有20%的機會可以銷售成功。推斷這位銷售員可以成交件數的機率分配。令S表示成功，銷售成功的機率P(S)=.20所以SC是銷售不成功的機率P(SC)=.80第7章隨機變數和間斷機率分配第227頁Copyright©2010CengageLearning7.12範例7.2機率樹狀圖P(S)=.2P(SC)=.8P(S)=.2P(S)=.2P(S)=.2P(S)=.2P(SC)=.8P(SC)=.8P(SC)=.8P(SC)=.8SSSSSSCSSCSSSCSCSCSSSCSSCSCSCSSCSCSCP(S)=.2P(SC)=.8P(SC)=.8P(S)=.2XP(x)3.23=.00823(.032)=.09613(.128)=.3840.83=.512(.2)(.2)(.8)=.032第一通電話第二通電話第三通電話P(X=2)表示在這邊第7章隨機變數和間斷機率分配第227頁圖7.1事件Copyright©2010CengageLearning7.13機率分配與母體機率分配的重要性在於它們可以被當成母體的代表。在範例7.1中的機率分配提供我們母體中關於每一戶家庭彩色電視機數量的資訊。在範例7.2中的母體是銷售人員在三通電話中銷售成功的數量。並且如同我們以前提過的，統計推論處理關於母體的推論。如母體平均數與母體變異數。第7章隨機變數和間斷機率分配第228頁Copyright©2010CengageLearning7.14母體平均數（期望值）母體平均數是它所有數值的加權平均數。這些權重就是各個機率。這個參數又被稱為是X的期望值(expectedvalue)。第7章隨機變數和間斷機率分配第229頁Copyright©2010CengageLearning7.15母體變異數母體變異數計算的方法是類似的。它是各個數值與平均數差異平方的加權平均數。母體變異數的簡易計算公式標準差的定義與第4章中的定義是相同的：第7章隨機變數和間斷機率分配第229頁Copyright©2010CengageLearning7.16範例7.3找出範例7.1中每一戶家庭擁有彩色電視機數量的母體平均數、變異數與標準差。第7章隨機變數和間斷機率分配第229.230頁Copyright©2010CengageLearning7.17範例7.3找出範例7.1中每一戶家庭擁有彩色電視機數量的母體平均數、變異數與標準差。第7章隨機變數和間斷機率分配第229.230頁Copyright©2010CengageLearning7.18範例7.3找出範例7.1中每一戶家庭擁有彩色電視機數量的母體平均數、變異數與標準差。第7章隨機變數和間斷機率分配第229.230頁Copyright©2010CengageLearning7.19期望值法則E(c)=c常數(c)的期望值即是常數的值。E(X+c)=E(X)+cE(cX)=cE(X)我們可以從期望值“拉出/抽出”一個常數的法則(隨機變數X加總的一部分或是一個隨機變數X的係數)。第7章隨機變數和間斷機率分配第231頁Copyright©2010CengageLearning7.20範例7.4一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。找出每月利潤的平均數1)以代數的用語來描述問題：銷售額的平均數$25,000E(銷售額)=25,000利潤的計算…利潤＝.30(銷售額)－6,000第7章隨機變數和間斷機率分配第231頁Copyright©2010CengageLearning7.21範例7.4一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。找出每月利潤的平均數期望或平均利潤是E(利潤)＝E[.30(銷售額)－6,000]應用期望值的第二條法則，我們得到E(利潤)＝E[.30(銷售額)]－6,000應用第三條法則，得到E(利潤)＝.30E(銷售額)－6,000＝.30(25,000)－6,000＝1,500因此，每月的平均利潤是$1,500第7章隨機變數和間斷機率分配第231頁Copyright©2010CengageLearning7.22變異數法則V(c)=0常數(c)的變異數是0。V(X+c)=V(X)隨機變數與常數的變異數是隨機變數的變異數(per1above)。V(cX)=c2V(X)隨機變數與常數係數的變異數是係數的平方乘以隨機變數的變異數。第7章隨機變數和間斷機率分配第231頁Copyright©2010CengageLearning7.23範例7.4一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。找出每月利潤的標準差1)以代數描述問題陳述：銷售額的標準差$4,000V(利潤)＝(.30)2V(銷售額)＝.09(4,000)2＝1,440,000(記住標準差與變異數間的關係)利潤的計算…利潤＝.30(銷售額)－6,000第7章隨機變數和間斷機率分配第232頁Copyright©2010CengageLearning7.24範例7.4一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。找出每月利潤的標準差2)利潤的變異數=V(利潤)=V[.30(銷售額)–6,000]=V[.30(銷售額)][第二條法則]=(.30)2V(銷售額)[第三條法則]=(.30)2(16,000,000)=1,440,000標準差是變異數的平方根，因此，每月利潤的標準差是=(1,440,000)1/2=$1,200第7章隨機變數和間斷機率分配第232頁Copyright©2010CengageLearning7.25範例7.4一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。找出每月利潤的平均數與標準差每月利潤的平均數是$1,500每月利潤的標準差是$1,200第7章隨機變數和間斷機率分配第231-232頁Copyright©2010CengageLearning7.26雙變量分配當只有一個變數的分配時，我們稱為單變量分配(univariatedistribution)。在這一節中，我們提出雙變量分配(bivariatedistribution)，它提供兩個變數組合的機率。雙變量分配又稱為聯合機率。假設變數的值分別為x和y，是以符號P(x,y)表示。X和Y的雙變量(或聯合)機率分配是一個表格或公式，其中列出所有成對x和y數值的聯合機率。P(x,y)=P(X=x和Y=y)第7章隨機變數和間斷機率分配第235頁Copyright©2010CengageLearning7.27間斷雙變量分配的條件你可能預期，雙變量分配的必要條件相似於單變量分配，只對符號做小小的變更:對所有成對的(x,y)而言。第7章隨機變數和間斷機率分配第235頁Copyright©2010CengageLearning7.28範例7.5Xavier和Yvette是不動產經紀人。令X代表Xavier將在一個月內售出的房屋數量，令Y代表Yvette將在一個月內售出的房屋數量。他們過去一個月銷售業績的分析具有下列的聯合機率。第7章隨機變數和間斷機率分配第235.236頁Copyright©2010CengageLearning7.29邊際機率如同我們在第6章的作法一樣，我們藉著橫向加總列的數字，與向下加總行的數字以計算邊際機率：例如：Xavier賣出一棟房屋的機率=P(X=1)=0.50第7章隨機變數和間斷機率分配第237頁Copyright©2010CengageLearning7.30描述雙變量分配我們通常以計算每一個變數的平均數、變異數與標準差來描述雙變量分配。我們利用邊際機率來執行這些計算。與單變量分配相同的公式…第7章隨機變數和間斷機率分配第237頁Copyright©2010CengageLearning7.31共變異數兩個間斷變數的共變異數被定義成：共變異數的簡易計算公式：第7章隨機變數和間斷機率分配第237頁Copyright©2010Cen