第三章 概率与分布

当人类科学家在探索问题的丛林中遇到难以逾越的障碍时，惟有统计学工具可以为其开辟一条前进的道路。——GaltonF（1822-1911）心理统计学第三章概率与分布2E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第三章概率与分布[教学目标]了解有关概率的基本知识理解常用概率分布的特征掌握二项分布与正态分布的具体运用[教学内容]第一节概率第二节二项分布第三节正态分布3E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川在一定的条件下事先可以断定必然会发生某种结果的现象叫确定性现象。第一节概率一、概率随机现象确定性现象随机现象必然现象不可能现象在一定条件下，事先不能断言会出现哪种情况的现象。•对随机现象的一次观测叫做一次随机试验。在一定条件下必然不会发生的现象在一定条件下必然会发生的现象客观现象4E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率特点偶然性：试验结果不能预言必然性：大量次重复试验下，呈现出统计规律性对“空中掷一枚硬币”进行观察：在1.2万次的重复观察中，正面向上有6019次在2.4万次的重复观察中，正面向上有12012次规律：“正面向上”和“反面向上”几乎各占一半。5E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率(二)事件与概率1、随机事件：随机现象中出现的各种可能的结果，简称为事件。在N次重复试验中,事件A发生的次数n与试验总次数N的比值，称为事件A发生的频率，记作FN(A)。(3.1)()NnFAN6E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率例3-l掷一枚硬币，观察“正面向上”的次数。现分次数N=5，N=50，N=500三组进行试验，其中每一组又重复进行了10批，其结果如表3-1所示。表3-1不同次数的试验n正的频率试验批号N=5N=50N=500n正FNn正FNn正FN1234567891023151242330.400.600.2010.200.400.800.400.600.60222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622502492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.4947E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率我们把随机事件发生的可能性的大小称作随机事件发生的概率，记作P(A)。频率是事件发生的外在表现概率体现事件发生的内在实质频率的稳定性——随机事件发生的可能性大小是随机事件本身所固有的，不随人的意志改变的一种客观属性，因此可以对其进行度量。8E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率(二)概率1、统计定义(后验概率)定义：在大量重复的N次试验中，当N无限增大时，事件A发生的频率n/N稳定在一个确定的常数附近，这个数表示事件A发生的概率，记作P(A)。（3.2）N()limnPAN特点：在研究或实验以前，事件的成功或失败事先是无法知道的9E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率2、古典定义(先验概率)定义：若试验由n个有限的基本事件组成，且每次试验中每个基本事件出现是等可能的，有利事件A发生的次数为m，则事件A的概率为：(3.3)()mPAn特点：事先知道有关事件出现的事实。10E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率同时抛掷2颗骰子，求出现8点的概率事件=2=3=4=5=6=71+12+13+14+15+16+1=81+22+23+24+25+26+2=91+32+33+34+35+36+3=101+42+43+44+45+46+4=111+52+53+54+55+56+5=121+62+63+64+65+66+6事件抛掷2颗骰子，共36个基本事件基本事件分布表11E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率共同性质：必然事件发生的概率为1，即P(Ω)=1；不可能事件的概率为0，即P(φ)=0事件A发生的概率满足：0≤P(A)≤1逆事件的概率：P(A)=1-P(A)12E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率（三）概率的两个基本定理1、加法定理：若A、B是两个互不相容的事件，则A和B至少有一个发生的概率为：P(A+B)=P(A)+P(B)(3.4)对于有限多个相互独立事件的情况：若A1，A2，…An是有限个相互独立的事件，则A1，A2，…，An至少有一个发生的概率为：P(A1+A2+…+An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)(3.5)13E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率例3-2掷一个骰子，假定出现的点数是等可能性的，求事件A={出现点数不超过4}的概率。解：因为P(Ai)=1/6（i=l，2，3，4，5，6），且基本事件是相互独立的，由加法定理得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=1/6+1/6+1/6+1/6=4/6例3-3某一考生对所考知识一无所知，完全凭猜测回答两道是非题，问该生答对一题的概率为多大?解：P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.25+0.25=0.514E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率2、概率的乘法定理若A、B是两个相互独立事件，则A和B同时发生的概率P(A·B)为：P(A·B)=P(A)·P(B)(3.6)有限个相互独立事件的情况：A1，A2，…，An是有限个相互独立事件，则A1，A2，…，An同时发生的概率P(A1A2An)为：P(A1·A2·…·An)=P(A1)P(A2)…P(An)(3.7)15E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率例3-4同时掷两个骰子，掷出12点的概率是多少？掷出11点的概率是多少？解：①出现12点的概率为：1/6×1/6=1/36②出现11点的概率为:1/6×1/6+1/6×1/6=1/1816E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率例3-5一份有10道四选一多项选择题的试卷，考生完全凭随机猜测得满分的概率有多大？解：令Ai表示“该生猜对第i题”这一事件，i=1，2，…，10。事件Ai(i=1,2,…,10)互不相容,且P(Ai)=1/4,根据概率的乘法定理，Ai(i=1，2，…，10)同时发生的概率为：P（A1A2…A10）=P(A1)P(A2)…P(A10)=(1/4)10=0.00000094只有10道四选一的多项选择题,完全凭猜测答对6道或6道以上的可能性只有0.0193。17E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率二、二项分布(一)排列与组合1、排列定义：从n个不同的元素中，任取m个（m≤n）元素，按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。①当m＜n时，所得排列称为选排列，计做②当n=m时，所得排列称全排列，记作PnmnP18E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率例3-6用四个数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的二位数？多少个没有重复数字的四位数？解：由公式（3.8）得到没有重复的二位数有由公式（3.9）得到没有重复的四位数有P4=4*3=12（种）=4*3*2*1=24（种）24P19E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第一节概率2、组合定义：从n个不同元素中，任取m个(m≤n)元素，不管顺序，并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，记作Cmn。组合的两个性质：(3.12)!!()!mmnnmPnCPmnm（1）mnmnnCC（2）11mmmnnnCCC20E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川例3-7：书架上有5本中文书，3本外文书。某学生从中任取3本，求恰有2本中文书的概率？解：第一节概率样本空间：随机事件：恰有2本中文书的概率2153CC215338()CCPAC=0.54基本事件：38C(二)二项式定理01122211()nnnnrnrrnnnnnnnnnnpqCpCpqCpqCpqCpqCq……21E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第二节二项分布一、二项分布的概念对于随机变量x进行n次独立试验若（1）每次试验结果只出现对立事件A与A之一；P(x)=Cnxpxqn-x（3.14）（2）在每次试验中出现A的概率是P，则出现A的概率为1-p，记为q=1-p，求在n次独立试验下，A出现次数为x的概率分布（x=0,1,2,…,n）。x的概率函数：22E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第二节二项分布例3-8有10道是非题，若考生完全不懂，全凭猜测回答，问分别回答对5题、6题、7题、8题、9题、10题的概率各为多少？至少答对5题的概率又是多少？解：每次试验只有两个结果，答对记为p，答错为q，则p=q=1/2猜中5题的概率为P(x=5)=C510p5q5=0.24609猜中6题的概率为P(x=6)=C610p6q4=0.2050823E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第二节二项分布猜中7题的概率为P(x=7)=C710p7q3=0.11719猜中8题的概率为P(x=8)=C810p8q2=0.04395猜中9题的概率为P(x=9)=C910p9q1=0.00977猜中10题的概率为P(x=10)=C1010p10=0.00098至少猜中5题的概率为P=C510p5q5+C610p6q4+C710p7q3+C810p8q2+C910p9q+C1010p10=0.024609+0.20508+0.11719+0.04395+0.00977+0.00098=0.6230624E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第二节二项分布例3-9有一份10道四选一的多项选择题的试卷，若考生对试题完全猜测，问考生完全猜中8题、9题、10题的概率各有多大？至少猜中1道的概率又有多大？解：四选一的多项选择题，猜中的概率记为p=1/4，猜错的概率记为q=3/4，由公式(4.14)得：猜中8题的概率为P(x=8)=C810p8q2=0.00039猜中9题的概率为P(x=9)=C910p9q=0.00003猜中10题的概率为P(x=10)=C1010p10=0.000000925E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第二节二项分布P(至少答对一题)=1-P(10题全部答错)=1-P(x=0)=1-(3/4)10=0.9437优点:能简便的决定任何既定的或大于任何既定分数的概率。从例3-9可知，若学生完全凭猜测答对至少9题的概率为：P(至少9题)=C910(1/4)9(3/4)+C1010(1/4)10=0.00003+0.000009=0.0000326E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第二节二项分布二、二项分布的均值、方差与标准差例如：n=5，p=1/2时，μ=2.5，σ2=1.25，σ=1.12n=10，p=1/4时，μ=2.5，σ2=1.875，σ=1.37n=20，p=1/8时，μ=2.5，σ2=2.1875，σ=1.482npnpqnpq均值方差准差2npnpqnpq均值方差准差2npnpqnpq均值方差准差均值方差标准差（3.15）（3.16）（3.17）27E-mail:[e-mail]主讲、制作：符永川第二节二项分布例3-10一份试卷有100道四选一的单项选择题，(每题1分)，考生答对了其中80道，有20道不能回答，