理论力学 09压杆稳定

12§10–1压杆稳定性的概念§10–2细长压杆临界力的欧拉公式§10–3超过比例极限时压杆的临界应力§10-4压杆的稳定校核及其合理截面第十章压杆稳定3§10–1压杆稳定性的概念构件的承载能力：①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。4P5一、稳定平衡与不稳定平衡：1.不稳定平衡62.稳定平衡73.稳定平衡和不稳定平衡8二、压杆失稳与临界压力：1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：稳定平衡不稳定平衡93.压杆失稳：4.压杆的临界压力稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Pcr过渡对应的压力10§10–2细长压杆临界力的欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力:PyyxM),(假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。yEIPEIMy①弯矩：②挠曲线近似微分方程：02ykyyEIPyEIPk2:其中PxLPxyPM11③微分方程的解：④确定积分常数：xBxAycossin0)()0(Lyy0cossin00:kLBkLABA即0cossin10kLkL0sinkLEIPLnk临界力Pcr是微弯下的最小压力，故，只能取n=1；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。2min2LEIPcr12二、此公式的应用条件三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式1.理想压杆；2.线弹性范围内；3.两端为球铰支座。—长度系数（或约束系数）。两端铰支压杆临界力的欧拉公式压杆临界力欧拉公式的一般形式22LEIPcrmin22)(minLEIPcr130.5l表10–1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μ22lEIPcr22)7.0(lEIPcr22)5.0(lEIPcr22)2(lEIPcr22lEIPcr=10.7=0.5=2=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lPcrPcrl2llC—挠曲线拐点14[例1]如图所示压杆由14号工字钢制成，其上端自由，下端固定。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服点＝240MPa，杆长l＝3000mm。试求该杆的临界力FPcr和屈服载荷Fs。s解(1)计算临界力对14号工字钢，查型钢表得压杆应在刚度较小的平面内失稳，故取查表得=2。将有关数据代入公式即得该杆的临界力4444271210mm64.410mmzyII，，221.510mmA44minmm104.64yII15229412Pcr223.142101064.4101037.1kN()(23)EIFl(2)计算屈服载荷(3)讨论FPcr∶Fs＝37.1∶516=1∶13.9，即屈服载荷是临界力的近14倍。可见细长压杆的失效形式主要是稳定性不够，而不是强度不足。46ss21.51024010516kNFA16PMkyky22MPyxMyEI)(EIPk2:令0,;0,0yyLxyyx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:[例2]试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。PLxPM0PM0PM0xPM0PMkxdkxcysincoskxckxdysincos17nkLnkLdPMc2,0,并2222)2/(4LEILEIPcr2kL为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为：2nkL=0.518③压杆的临界力[例3]求下列细长压杆的临界力。,123hbIy=1.0，解：①绕y轴，两端铰支：222LEIPycry,123bhIz=0.7，②绕z轴，左端固定，右端铰支：212)7.0(LEIPzcrz),min(crzcrycrPPPyzL1L2yzhbx1949123minm1017.410121050I21min2)(lEIPcr48minm1089.3zII22min2)(lEIPcr[例4]求下列细长压杆的临界力。已知：L=0.5m,E=200GPa。图(a)图(b)解：图(a)图(b)kN14.67)5.07.0(20017.422kN8.76)5.02(200389.0225010PLPL(45456)等边角钢yz20§10–3超过比例极限时压杆的临界应力APcrcr一、基本概念1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3.柔度：222222)/()(EiLEALEIAPcrcr2.细长压杆的临界应力：—惯性半径。—AIi）—杆的柔度（或长细比—iL22Ecr即：214.大柔度杆的分界：PcrE22欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足PPPE2求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其P二、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式①PS时：scrbassba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临Psbacr22iLcr界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临S22Ecr③临界应力总图②S时：scrbacrPSsbasPPE2232.抛物线型经验公式211bacrScEAA56.043.016253，锰钢：钢和钢、对于。时，由此式求临界应力c我国建筑业常用：①Ps时：21cscr②s时：scr24[例5]某机器连杆如图10.6所示，截面为工字形，其Iy＝1.42×104mm4，Iz＝7.42×104mm4，A＝552mm2。材料为Q275钢，连杆所受的最大轴向压力FP＝30kN，取规定的稳定安全系数[n]st＝4。试校核压杆的稳定性。解连杆失稳时，可能在x-y平面内发生弯曲，这时两端可视为铰支；也可能在x-z平面内发生弯曲，这时两端可视为固定。此外，在上述两平面内弯曲时，连杆的有效长度和惯性矩也不同。故应先计算出这两个弯曲平面内的柔度，以确定失稳平面，再进行稳定校核。25(1)柔度计算在x-y平面内失稳时，截面以z轴为中性轴，柔度在x-z平面内失稳时，截面以y轴为中性轴，柔度因，表明连杆在x-y平面内稳定性较差，故只需校核连杆在此平面内的稳定性。64552/1042.77501/41111AIlilzzz58552/1042.15805.0/42222AIlilyyyyz26(2)稳定性校核工作压力FP＝30kN临界力由于，属中长杆，需用经验公式。现按抛物线公式算得临界应力为则临界力为代入公式得[n]st故连杆的稳定性足够。P64z(MPa)2406400853.027500853.027522cr(kN)5.132105521024066crPcrAF4.4305.132PPcrFFn27[例6]托架受力和尺寸如图a)所示，已知撑杆AB的直径d＝40mm，材料为Q235钢，两端可视为铰支。规定稳定安全系数[n]st＝2。试据撑杆AB的稳定条件求托架载荷的最大值。解(1)求撑杆的许可压力属中长杆，现用直线公式计算临界应力和临界力。查表得a＝304MPa，b＝1.12MPa，则mm104dAIi80108001ilPs28由公式可得其许可压力(2)求托架载荷的最大值FQmax据三角形ABC求得作CD杆的受力图，如图b)所示，由平衡方程得(kN)cr3041.1280214.4(MPa)ab266Pcrcrπ4010214.410269.4(kN)4FAPcrPst269.4134.7(kN)[]2FFn330.53sinh0.610sin0.410(mm)0.8，PQmax0CMFhFCD3Qmax3134.70.41059.870.910PFhFCD29[例7]一压杆长L=1.5m，由两根56568等边角钢组成，两端铰支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式求临界压力和稳定安全系数nst。4121cm63.23,cm367.8yIAzyIIcm68.1367.8226.47minAIi1233.8968.1150cil解：一个角钢：两根角钢图示组合之后41mincm26.4763.2322yyIII所以，应由抛物线公式求临界压力。yz30MPa7.181])1233.89(43.01[235])(43.01[22cscrkN304107.18110367.8264crcrAP02.2150304PPncrst安全系数31§10–4压杆的稳定校核及其合理截面一、压杆的稳定许用应力:1.安全系数法确定许用应力:stcrstn2.折减系数法确定许用应力:st柔度有关。其值与材料性能及压杆折减系数1,,二、压杆的稳定条件:stAP32[例8]图示起重机，AB杆为圆松木，长L=6m，[]=11MPa，直径：d=0.3m，试求此杆的许用压力。803.0461iLxy解：折减系数法①最大柔度xy面内，=1.0zy面内，=2.01603.0462iLzyT1ABWT2xyzO33stkN911011117.043.062stBCBCAP②求折减系数③求许用压力117.016030003000,80:22时木杆34三、压杆的合理截面:iL2min2)(LEIPcrminAIimaxminII合理保国寺大殿的拼柱形式1056年建，“双筒体”结构，塔身平面为八角形。经历了1305年的八级地震。354141021cm6.25,cm3.198,cm52.1,cm74.12yzIIzA41cm6.3963.19822zzII])2/([22011azAIIyy])2/52.1(74.126.25[22a时合理即2)2/52.1(74.126.253.198:a[例9]图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3钢E=200GPa，，下端固定，上端为球铰支座，试问a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢图示组合之后，cm32.4ay1PLz0yz1C1aMPa200p365.1061074.122106.39667.0267.0481AIiLz3.9910200102006922PpEkN8.443)67.0(106.396200)(22222lEIPcr求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。37一、如何区别压杆的稳定平衡和不稳定平衡？二、压杆因失稳而产生弯曲变形，与梁在横向力作用下产生弯曲变形，在性质上有何区别？三、三根直径均为d=16cm的圆杆如图所示，材料均为A3钢，E=200GPa，。MPap200试求：①哪一根压杆最容易失稳？②三杆中最大的临界压力值。第十章练习题38解：①杆(a)：杆(b)：杆(a)最易失稳杆(c)：②杆(c)的临界力最