理论力学 chap16

考试时间地点：12月31日9：00YF303碰撞碰撞的应用两球的碰撞·恢复系数碰撞过程的基本定理碰撞的力学特征和模型碰撞碰撞碰撞过程的特点及分类一、碰撞过程的特点1）碰撞接触的时间很短，但相互作用力很大；2）由于碰撞接触时间很短，故碰撞过程结束后还没有产生位移，但会产生有限的速度变化；应用积分形式的动力学方程；常规作用往往可以忽略不计；二、碰撞的分类第十五章碰撞碰撞过程的特点及分类1）对心碰撞与非对心碰撞；2）正碰撞与斜碰撞；3）光滑碰撞与非光滑碰撞；碰撞力是否在两物体质心的连线上两物体质心的速度是否在接触面的公法线上接触点公切线方向是否有摩擦约束1).准刚体模型:物体仍看成刚体，但在碰撞处的极小范围内可以变形。碰撞过程的基本假设2).碰撞过程分为两个阶段：变形阶段与恢复阶段。3).碰撞力很大，作用时间很短，是瞬时力。在碰撞过程中，重力等常规力可以忽略不计。4).碰撞过程非常短促，因此物体的位移可以忽略不计；即碰撞前后物体的位置不变。研究碰撞就不得不考虑到接触点附近一小部分的局部变形。称为有局部变形的刚体模型。在理论力学中有两个地方必须谈到变形，请问另一个是什么问题？碰撞过程的基本定理1)质点系动量定理的积分形式：eiiiFvmdtd)(微分形式：积分:eitteiiiiiIdtFvmvm21'eiIppeiccIvmvm2)质点系动量矩定理的积分形式：)(eioooIMLL微分形式：oeiiiiioMFrvmrdtdLdtd)(积分:eiitteiiiiiiiiIrIdrvmrvmr21'nieiCC1)I()(CMLL)(eicccIMJJ若刚体作平面运动：若刚体定轴转动：)(eioooIMJJexccIxmxm12eyccIymym12（1）碰撞过程中一般不便于应用动能定理；但在某些特殊情况下，也能导出动能损失的公式。（2）碰撞过程除受动力学规律支配外，还与材料的变形恢复性能密切相关。两球的碰撞·恢复系数两球的速度在两球连心线的碰撞。一两球的正碰撞12IIe恢复系数：恢复阶段与变形阶段的冲量之比e=0时材料变形完全不能恢复，称为塑性碰撞。e=1时材料变形完全恢复，称为完全的弹性碰撞。e如何获得？12IIe2112vvvvrrvv12hh－恢复系数实验测定恢复系数：碰撞后相对分离的速度与碰撞前相对接近的速度比。22ghv12ghv1111Ivmvm2111Ivmvm12IIe塑性碰撞:e=0完全的弹性碰撞:e=11222Ivmvm2222Ivmvm1111Ivmvm1222Ivmvm2111Ivmvm2222Ivmvm二碰撞中的能量损失完全塑性碰撞:21TTT22122121))(1(21vvemmmm2212121)(21vvmmmmT若第二个物体初始速度为零，即有v2=0:1212TmmmT12111Tmm碰撞前动能：碰撞后动能：完全弹性碰撞:0,1Te小锤大砧大锤小桩0e实例解释：表演者躺在地板上，身上压一块重石板。另一表演者用重锤猛击石板，石板碎裂，但石下的表演者却毫无损伤。将石板变小或干脆去掉行吗？将石板变成木板？1212TmmmT12111Tmm碰撞前后两球速度矢不在两球接触面的公法线上。一两球的斜碰撞rnrnnnnnvvvvvve1212－－＝碰撞刚体接触点在公法线方向的相对分离速度与相对接近速度。二刚体的斜碰撞rnrnvve两球的斜碰撞斜碰撞恢复系数：两球沿公法线方向碰撞后相对分离的速度与碰撞前相对接近的速度比例1质量为m的刚体绕O作定轴转动，对O轴的转动惯量为Jo，角速度为。在某瞬时受已知冲量I作用，求碰撞后的角速度′和碰撞过程中轴承O的约束碰撞冲量Io。I0yI0xeiccIvmvm)(eioooIMJJI0yI0x由质心运动定理：oxxIImama质量为m的刚体绕O作定轴转动，对O轴的转动惯量为Jo，角速度为。在某瞬时受已知冲量I作用，求碰撞后的角速度′和碰撞过程中轴承O的约束碰撞冲量Io。解：由定轴转动动力学方程：lIJJxoooxJlIoyyII00xoxImaI)(xoIJmal)1(yoyII轴承的约束碰撞冲量为零？vCI0yI0x当作用冲量垂直于轴O与质心C连线时，0yI如其作用点的位置还满足:撞击中心(centerofpercussion)maJlO0OyOxII一长2a的均质杆，由水平位置绕转轴O下落并撞在固定支座上弹回。为使轴承O处不发生约束碰撞冲量，支座应装在杆的撞击中心的位置上：amamamaJlO34342xooxIJmalI)(1yoyII讨论：例题2台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度h。hCIdrv解：动量定理：mvIIs对质心动量矩定理：252mrrhI)(运动学关系：纯滚动时rvdrh10757冲量分析（图）、运动分析)(eicccIMJJexccIxmxm12eyccIymym12INIs0NI0sIhCIdmvI例3质量为m长为l的均质细杆与光滑地面成角，并以速度v平行于杆自身而撞击地面；设碰撞是完全弹性的，求碰撞后杆的运动。)(eicccIMJJexccIxmxm12eyccIymym12rnrnvve补充恢复系数方程：AyAyvve例3质量为m长为l的均质细杆与光滑地面成角，并以速度v平行于杆自身而撞击地面；设碰撞是完全弹性的，求碰撞后杆的运动。0cosmvvmcxcos201212lImlImvvmcy)sin(cosvvcxsincos31cos3122vvcylv)cos31(cossin1221sincos2vlvcylω/2解：杆作平面运动，由积分形式的刚体平面运动微分方程有：例4边长为l的正方形物块，以匀速v运动，突然与一小凸台相撞，如图示。设碰撞为塑性的，求（1）物块翻转瞬时的角速度；（2）凸台对物块的碰撞冲量；（3）物体动能的损失。解：（1）碰撞过程物块的冲量图对O点用动量矩定理02lmvJOlv43（2）由质心运动定理yxIlmImvlm045sin2245cos22mvIx85mvIy83塑性碰撞:vo=0，物块的运动由平动突变为定轴转动。222232)22(61maammaJmdJCO)(eicccIMJJexccIxmxm12eyccIymym12yx（3）动能的损失222211652121mvJmvTTTO解决碰撞问题的步骤为：1）分析碰撞前后物体的动量，画出动量图或速度分析图；2）分析碰撞过程的碰撞冲量，画出冲量图；3）应用有限形式的动量和动量矩定理，建立碰撞过程的动力学方程；4）列写其他补充方程，如恢复系数关系式、运动学补充方程等；5）求解以上方程并讨论其结果。lv43P279习题9-19LrvLOCCCm边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍A相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速vo；木箱碰撞后其质心的瞬时速度vc与瞬时角速度ω。转到最高处A00CvC若箱刚能完成翻转，则转到最高点时，0Cv45A碰末amgmaamg223221222agv05.10碰撞前后箱对A点的动量矩守恒222232)22(61maammaJmdJCA20322maamvagav788.0430agavC557.02从碰后到最高点机械能守恒：势能零点：例5质量m=2kg的均质圆盘无初速度地从高度h=1m自由下落，碰到一个固定尖角O上。若圆盘半径r=20cm，距离a=8cm，碰撞时的恢复系数e=0.8，假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。解：（1）碰撞前后圆盘的运动分析图及略去非碰撞力后的冲量图ghvC2（2）由动能定理决定碰撞前质心的速度平面运动刚体碰撞动力学方程IvvmCC)sin(nCCnIvvm)cos(rIJC运动学方程Cvr恢复系数cosCCnvveOCInItωvcvcnvctαtnm/s18.1232sin32raghvvCCrad/s90.5m/s246.3cosCCnevvm/s45.322CnCCvvv碰撞前的动能2121CmvT碰撞后的动能2222121CCJvmT碰撞过程能量的损失mNTTT00.721例5质量m=2kg的均质圆盘无初速度地从高度h=1m自由下落，碰到一个固定尖角O上。若圆盘半径r=20cm，距离a=8cm，碰撞时的恢复系数e=0.8，假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。OCInItωvcvcnvctαtn例6两均质杆的质量均为m，长度均为l，用光滑铰链连接，求在冲量I作用下两杆获得的角速度及各铰处的约束碰撞冲量。)(eicccIMJJexccIxmxm12eyccIymym12AB杆为平面运动：AxIImv02两均质杆的质量均为m，长度均为l，用光滑铰链连接，求在冲量I作用下两杆获得的角速度及各铰处的约束碰撞冲量。解：将两杆拆开并作受力图:OA杆为定轴转动：lImlAx031122)(012122lIImlAx补充运动学关系：21221llvmlI7610AyoyIImlI7302mIv792IIAx72AxoxIImv01IIox71由OA杆的质心运动方程求轴O处的碰撞冲量：两均质杆的质量均为m，长度均为l，用光滑铰链连接，求在冲量I作用下两杆获得的角速度及各铰处的约束碰撞冲量。0AyI由AB杆的质心运动方程求A处的碰撞冲量：例7三根长均为l的均质杆AB，BC，CD铰接成正方形三边置于水平面上，如图所示，D铰固定。今在A点作用一沿DA方向的冲量I。试求碰撞后三杆的角速度。解：作AB，BC，CD三杆的冲量图,运动分析图分别列写三杆碰撞过程的动力学方程AB杆：E为质心10ImvEx20IImvEy2)(0121212lIImlBC杆：F为质心310IImvFx240IImvFy2)(01213122lIImlCD杆：lIml43231运动学方程3lvvCFy22lvvFCFx2lvvBCEx312llvvvcEBEy以上11个方程联立求解可得到全部未知量mlI1966102mlI1963可整体分析，避免内约束冲量出现（例如用拉氏方程，见刘延柱等《理论力学》，高教出版社，1991，p380－385）作业：解决碰撞问题应注意以下几点：1）分清碰撞与非碰撞过程，碰撞过程不计重力等有限力的影响。2）碰撞过程用动量和动量矩定理的积分形式或冲量和冲量矩定理列写物体的动力学方程。3）碰撞过程除列写物体动力学方程外还需补充写出恢复系数的表达式及运动学关系式。