理论力学-动能定理

第二章动能定理动力学西北工业大学支希哲朱西平侯美丽动能定理第二章动能定理§2-1力的功§2-2几种特殊力的功§2-3作用于质点系上的力系的功§2-5动能定理第二章动能定理§2-6势力场·势能·机械能守恒定理§2-4动能动力学目录第二章动能定理§2-1力的功§2-1力和功常力在直线路程中的功变力在曲线路程中的功合力的功定理第二章动能定理§2-1力的功力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能量的转变和转化。下面讨论力的功的计算方法。一、常力在直线路程中的功设一物体，在常力F作用下沿直线由A1平动到A2，所经历的路程是s。则该常力F在此路程中的功为W=Fcoss其中Fcos为力F在运动方向上的投影，可正可负。可见力的功是代数量。功的基本单位在国际单位制中采用J:1J=1NmαFAA1A2s一、常力在直线路程中的功第二章动能定理设在质点A上作用着变力F,现在把其轨迹曲线A1A2分成许多微小弧段，使得每个元弧段ds(即元路程)可视为直线段，而力F则视为常力，应用常力在直线路程中的功的计算式，力F在每个元路程ds中的功dW=Fcos·ds式中是力F与速度v间的可变夹角。由于元路程ds对应于位移的大小|dr|=|v|dt，故上式可以改写成dW=F•dr=F•vdt§2-1力的功上式称为力F在元路程ds中的元功。1.元功的定义OA1AFxyzA2θvr+drrdsdr二、变力在曲线路程中的功第二章动能定理力F在有限路程A1A2中的总功W，是该力在这段路程中全部元功的代数和，可表示成曲线积分dW=Fxdx+Fydy+Fzdz这就是元功的解析表达式。因为F=Fxi+Fyj+Fzk,dr=dxi+dyj+dzk，代入上式得2121)ddd(dcosAAzyxAAzFyFxFsFW§2-1力的功dW=F•dr=F•vdt2.功的解析表达式。3.变力在曲线路程中的总功变力的功OA1AFxyzA2θvr+drrdsdr第二章动能定理§2-1力的功如在质点上同时作用着几个力，则由合力投影定理可以推知，合力在某一路程上的功，等于各分力分别在该路程中的功的代数和。这个结论称为合力之功定理。变力的功三、合力的功定理第二章动能定理§2-2几种特殊力的功§2-2几种特殊力的功重力的功弹性力的功牛顿引力的功第二章动能定理§2-2几种特殊力的功一、重力的功设物体的重心A沿某一曲线由A1运动到A2。物体的重力G在坐标轴系上的投影为Fx=Fy=0,Fz=G得重力的元功dW=Gdz故重力在曲线路程A1A2上的功为21)(d21zzGhzzGzGW由元功表达式dW=Fxdx+Fydy+Fzdz一、重力的功OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)第二章动能定理式中z1和z2分别是重心的路程起点和终点的纵坐标；h=z1-z2是物体重心降落的高度，称为高度降。§2-2几种特殊力的功重力的功OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)21)(d21zzGhzzGzGW故重力在曲线路程A1A2上的功为有结论（2）重力的功与运动路径无关。（1）重力的功等于重力与重心高度降的乘积。（3）重心下降，重力作正功；否则，重力做负功。第二章动能定理当rl0＜0时，λ=（rl0），弹簧压缩，弹性力F指向点A，其矢量表示式为当rl0＞0时，λ=rl0，弹簧拉长，弹性力F指向点O，其矢量表示式为二、弹性力的功设弹簧未变形时长度是l0，刚度系数是k。弹簧的一端O固定，而另一端A作任意曲线运动，且弹簧始终处于直线状态。现求在点A由位置A1沿某一路线运动到位置A2的路程中弹性力所作的功。在任意位置A，弹簧的变形为λ=︱rl0︱，矢径方向的单位矢量为r/r。F=kλ(r/r)=k(rl0)(r/r)§2-2几种特殊力的功1.弹性力的矢量表示F=kλr/r=k(rl0)r/rOA1drA2r1rr2FA二、弹簧力的功第二章动能定理弹性力的矢量表示F=k(rl0)r/r式中r/r是矢径方向的单位矢量。§2-2几种特殊力的功2.弹性力的元功得弹性力F的元功考虑到r•dr=d（r•r）/2=d（r2）/2=rdr=rd(rl0)，即得弹性力F在曲线路程A1A2中的功dW=F•dr=k(rl0)(r•dr/r)dW=k(rl0)d(rl0)2121])()[(2)(d)(d20220100rrAAlrlrklrlrkWW由元功表达式dW=F•dr=F•vdt3.弹性力的功弹性力的功OA1drA2r1rr2FA第二章动能定理§2-2几种特殊力的功弹性力F在曲线路程A1A2中的功2121])()[(2)(d)(d20220100rrAAlrlrklrlrkWW以1=r1l0和2=r2l0分别表示路程始末端A1和A2处弹簧的变形量，则上式写成)(22221kW有结论(2)弹性力的功与运动路径无关。(1)弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。(3)弹簧的变形量减小弹性力作正功；否则，做负功。弹性力的功OA1drA2r1rr2FA第二章动能定理§2-3作用于质点系上的力系的功§2-3作用于质点系上的力系的功平动刚体上力的功定轴转动刚体上外力的功平面运动刚体上力的功质点系和刚体内力的功约束力的功之和等于零的情形第二章动能定理§2-3作用于质点系上的力系的功一、平动刚体上力的功设一刚体在力F作用下作平动，其质心在C点，刚体上点A的矢径是r，速度是v,则力F的元功d'W=F‧dr=F‧drC2.总功一、平动刚体上力的功OdrxrFAvyz1.元功CdrCvCd'W=F‧vdt=F‧vCdt或∑d'W=∑F‧vdt=∑F‧vCdt∑d'W=∑Fdr=∑F‧drC或第二章动能定理§2-3作用于质点系上的力系的功二、定轴转动刚体上外力的功设刚体绕定轴z转动，角速度=k，刚体上点A的矢径是r，速度是v=r。作用着力F，当刚体有一微小转角d时，力F的元功d'W=F‧dr=F‧vdt=F‧(r)dt由静力学知，力F对点O的矩矢mO(F)=rF，而力F对轴z的矩mz(F)等于mO(F)在轴z上的投影，即mz(F)=mO(F)‧k所以，混合积F‧(r)=‧(rF)=k‧mO(F)=mz(F)。二、定轴转动刚体上的力的功OωkdrxrFAvdyz混合积F‧(r)=‧(rF)1.元功第二章动能定理因此有元功d'W=mz(F)dt=mz(F)d在刚体由角1转到角2的过程中，力F的总功为特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为W=mz(F)(21)如果刚体上作用着一个力系，则其元功为∑d'W=∑mz(F)ωdt=Mzd)102(d)(21FmWz§2-3作用于质点系上的力系的功定轴转动刚体上外力的功2.总功有结论作用于定轴转动刚体上的力的功，等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。OωkdrxrFAvdyz第二章动能定理§2-3作用于质点系上的力系的功定轴转动刚体上外力的功假设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形，且变形时在弹性范围之内。变形时扭簧作用于杆上的力对点O之矩为kM其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ2时所作的功为2122121211d22Wkkk扭转弹簧力矩的功第二章动能定理§2-3作用于质点系上的力系的功三、平面运动刚体上力的功设一刚体在力F作用下作平面运动，其质心在C点，速度是vC，刚体上点A的速度是vA,则力F的元功2.总功三、平面运动刚体上的力的功1.元功d'W=F‧vAdt=F‧（vC+vAC）dt∑d'W=∑[F‧drC+mC(F)d]ωrFACvCvCvACvAd=F‧vCdt+F‧vACdt=F‧drC+F‧(r)dt=F‧drC+mC(F)d有结论作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心平动中的功与力对质心的矩在刚体转动中的功之和。ω第二章动能定理半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。§2-3作用于质点系上的力系的功根据平面运动刚体上力的功的表达式可知，力F所作的功为rxFrFx2W=Fx—mC(F)解：Fx21x2rOrCF思考题第二章动能定理四、质点系和刚体内力的功设质点系内有两质点A1和A2,相互间作用着内力F1和F2=F1。两质点的元位移分别是dr1和dr2,故得内力F1和F2的元功之和2211dddrFrFW§2-3作用于质点系上的力系的功dd2111rFrF)d(211rrF引入矢量，设其单位矢量为12AAe12AAe则有eF11F所以)(d121AAF)d(211rrFdr1dr2r1A1OA2F2F1r1四、质点系和刚体上力的功第二章动能定理所以∑d'W=F1d(A1A2)§2-3作用于质点系上的力系的功)d(121eeAAF)(d121AAFeF11F)(d121AAF)d(211rrF]d)()d([12121eeeAAAAF]d)()()d(121121eeeeAAFAAF]d)()d(121121eeAAFAAF0d)d(21)d(21d2eeeeeee)(d121AAF)d(121AAF12AAedr1dr2r1A1OA2F2F1r1内力的功第二章动能定理这里d(A1A2)代表两质点间距离A2A1的变化量，它和参考系的选择无关，在一般质点系中，两质点间距离是可变的，因而，可变质点系内力所做功的总和不一定等于零。但是,刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所做功的总和恒等于零。∑d'W=F1d(A1A2)§2-3作用于质点系上的力系的功内力的功dr1dr2r1A1OA2F2F1r1第二章动能定理§2-3作用于质点系上的力系的功工程上几种内力作功的情形●作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。●有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。●弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。内力的功第二章动能定理五、约束力的功之和等于零的情形光滑的固定支承面(图a)，轴承，销钉(图b)和活动支座(图c)的约束力总是和它作用点的元位移dr垂直，所以这些约束力的功恒等于零。§2-3作用于质点系上的力系的功FAdrFAdrFAdr(a)(b)(c)1.光滑的固定支承面、轴承、销钉和活动支座的约束力五、约束力的功之和等于零的情形第二章动能定理§2-3作用于质点系上的力系的功约束力的功4.圆轮沿支承面滚动时，摩擦力(约束力)的功。OvOCvFFN因为Cv为速度瞬心，其速度为零。所以作用在Cv点的静摩擦力F所作元功为tvFfrFWCvCvFdddN0ddtvFWCv（1）圆轮连滚带滑运动时，动摩擦力F所作元功为（2）圆轮纯滚动时，这时出现静摩擦力F。第二章动能定理§2-4动能§2-4动能质点的动能质点系的动能几种刚体运动的动能柯尼西定理第二章动能定理§2-4动能即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号T表示，则有国际单位制中，动能的常用单位是kg·m2/s2，即J。222121iiiivmvmT设质点的质量为m，速度为v，则该质点的动能221mvT动能是物体机械运动的一种度量，恒为正值。二、质点系的动能一、质点的动能第二章动能定理§2-4动能1.平动刚体的动能平动刚体各点的速度和质心速度vC相同，m表刚体质量，则其动能即