理论力学-拉格朗日方程

第七章拉格朗日方程动力学西北工业大学支希哲朱西平侯美丽拉格朗日方程第七章拉格朗日方程§7–3拉格郎日方程的第一积分§7–1动力学普遍方程动力学第七章拉格郎日方程§7–2拉格郎日方程目录第七章拉格朗日方程§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程对于这些函数进行一定的运算，就可了解系统的运动特性和获得系统的运动方程，所以动力学普遍方程和拉格朗日方程式求解质点系复杂动力学问题的普遍而有效的方法。§7-1动力学普遍方程动力学普遍方程和拉格朗日方程是分析动力学的内容。分析动力学是把系统作为一个整体来考察，并利用动能、势能这类标量函数来描述这个系统。第七章拉格朗日方程一、概述动力学普遍方程是将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合而得到的，可以看成是达朗贝尔原理的解析表达形式。二、动力学普遍方程的推导设一质点系由n个质点组成，作用在第i个质点上的主动力为Fi，约束力为FNi，则根据牛顿第二定理F=ma有iiiimNFFa),2,1(,ni令ii*imaF称为惯性力，则有0*NNiiiiiiimFFFaFF),2,1(,ni上面式子表示一组平衡关系，即在每一瞬时，作用在质点系内每一质点上的主动力Fi，约束力为FNi，以及假想的惯性力F*i在形式上构成平衡力系。§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程§7-1动力学普遍方程将虚位移原理应用于这组平衡力系，为此，取质点系的任一组虚位移δri（i=1，2,…,n），则有0)(*NiiiirFFF),2,1(,ni对质点系全部质点的上述表达式求和，得0)()()(1*1N1niiiniiiniiirFrFrF设该质点系所受的约束为理想约束，则0)(1NniiirF代入上式可得0)(*1iiniirFF0*NNiiiiiiimFFFaFF),2,1(,ni第七章拉格朗日方程式称为惯性力。上式表明：在理想约束下，质点系在任一瞬时，作用的主动力和假想的惯性力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。取固定直角坐标系，将上式投影得：0])()()[(1i*izizi*iyiyi*ixniixzFFyFFxFF以上二式称为动力学普遍方程或达朗伯——拉格朗日方程。01iniiiiramF01niiiiiziiiiyiiiixzzmFyymFxxmF§7-1动力学普遍方程0)(*1iiniirFFii*imaF),2,1(,ni第七章拉格朗日方程例题7-1一瓦特调速器的结构如图所示。每一飞球质量为m1，重锤质量为m2，各铰连杆的长度为l，T形杆宽度为2d。调速器的轴以匀角速ω转动。求飞球张开的角度α。OCddBAααω例题7-1§7-1动力学普遍方程例题7-1第七章拉格朗日方程例题7-1§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程此为一个自由度质点系，选角α为广义坐标。21**)sin(ldmFFBA球简化为质点，除主动力外，图上画出了飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方向相反。由动力学普遍方程得0211**CBABBAAygmygmygmxFxF(a)解：OCyxddδrCδrAδrBBAααm1gm1gm2gF*AF*Bω例题7-1§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程),sin(ldxAcoslxAcoslyAsinlyA),sin(ldxBcoslxB,coslyBsinlyB,cos2lyCsin2lyC各质点的虚位移可用广义坐标的变分表示OCyxddδrCδrAδrBBAααm1gm1gm2gF*AF*Bω例题7-1§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程此式建立了调速器相对平衡位置α与转速ω的关系，可用来作为选择调速器参数的依据。0sin2sin2cos)sin(22121glmglmlldm)sin(tan)(1212ldmgmm代入式（a）得求得OCyxddδrCδrAδrBBAααm1gm1gm2gF*AF*Bω0211**CBABBAAygmygmygmxFxF(a)例题7-1§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程例题7-2在图所示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为m1的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为m2的重物。设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩擦都不计，求物体下降的加速度。m1gm2ga1a2例题7-2§7-1动力学普遍方程例题7-2第七章拉格朗日方程例题7-2§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程,11*1amF22*2amF0)()(11112222samgmsamgm给系统以虚位移δs1和δs2，由动力学普遍方程，得m1gm2ga1a2δs1δs2*F1*F2解：取整个滑轮系统为研究对象，系统具有理想约束。系统所受的主力为重力m1g和m2g，假想加入系统的惯性力，。*F1*F2例题7-2§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程这是一个自由度系统，所以δs1和δs2中只有一个独立的。由定滑轮和动滑轮的传动关系，有,221ss221aa02)2()(22112222samgmsamgmgmmmma12122424消去δs2，得代入前式，有m1gm2ga1a2δs1δs2*F1*F20)()(11112222samgmsamgm例题7-2§7-1动力学普遍方程第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日（Lagrange)方程拉格朗日方程保守系统的拉格朗日方程第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程一、概述应用动力学普遍方程，求解较复杂的非自由质点系的动力学问题常不很方便，这是因为由于系统存在约束，所以这种方程中各质点的虚位移可能不全是独立的，这样解题时还需寻找虚位移之间的关系。但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题常很方便。第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程设由n个质点组成的质点系，受到s个理想、完整约束，因此该系统具有k=3m-s个自由度，可用k个广义坐标q1,q2,…,qk来确定该系统的位形。在非定常约束下，系统中任一质点的矢径可表示成广义坐标和时间的函数，即);,...,(21tqqqkiirr),2,1(,ni对上式求导，得该质点的速度tqqijkjjiirrv1上式中的，称为广义速度。jqjiiqtrr,由以上可知仅是广义坐标和时间的函数。二、拉格朗日方程的推导第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程jijiqqrvjiiqtrr,仅是广义坐标和时间的函数，将式（1）二端对广义速度jq求偏导，注意到是彼此独立的，jq与jq则有拉格朗日第一变换式质点的速度tqqijkjjiirrv1（1）将式（1）对任一广义坐标hq求偏导，有tqqqqqhijkjjhihirrv212（2）与无关。jq第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程jijiqqrv拉格朗日第一变换式tqqqqqhijkjjhihirrv212（2）再对时间t求导得)(ddhiqtrhijkjhjiqtqqqrr212式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式)(ddhihiqtqrv所以有拉格朗日第二变换式)(ddjijiqtqrv);,...,(21tqqqkiirr对任求偏导，hqhijkjhijqtqqqrr21)(（3）第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程代入动力学普遍方程0)(*1iiniirFFjkjjiiqq1rr);,...,(21tqqqkiirr对矢径求变分，得有])[(1*1jkjjiiniiqqrFF0)]()([1*11jjiniikjjiniiqqqrFrF广义力记为Qj广义惯性力记为Q*j这样动力学普遍方程可写为0][*1jjjkjqQQ第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程)(1*i*jinijqQrF代入上式有广义惯性力])[(1jiniiiqmra])dd[(1jiniiiqtmrv因为)(dd)dd()(ddjiiijiiijiiiqtmqtmqmtrvrvrv所以)(dd)(dd)dd(jiiijiiijiiiqtmqmtqtmrvrvrv)](dd)(dd[1*jiiijiiinijqtmqmtQrvrv第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程广义惯性力)](dd)(dd[1*jiiijiiinijqtmqmtQrvrv利用前面的二个拉格朗日变换式jijiqqrv)(ddjijiqtqrv有)]()(dd[1*jiiijiiinijqmqmtQvvvv][][dd11jiiinijiiiniqmqmtvvvv]21[)]21([dd11iiinijiiinijmqmqtvvvv系统的动能T系统的动能T第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程广义惯性力]21[)]21([dd11*iiinijiiinijjmqmqtQvvvv系统的动能T系统的动能T故广义惯性力的最后变形形式为jjjqTqTtQ)(dd*)...,,2,1(kj第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程广义惯性力的变形形式jjjqTqTtQ)(dd*)...,,2,1(kj代入前面所得动力学普遍方程的转化式0][*1jjjkjqQQ有0])(dd[][1*1jjjjkjjjjkjqqTqTtQqQQ对于完整系统，广义虚位移δqj都是独立的，并具有任意性，所以为使上式成立，则有0)(ddjjjqTqTtQ由此可得一般完整系统的拉格朗日方程jjjQqTqTt)(dd)...,,2,1(kj第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程一般完整系统的拉格朗日方程由上章可知如果系统上的主动力均为有势力，即是保守系统时，广义力为jjjQqTqTt)(dd)...,,2,1(kjjjqVQ)...,,2,1(kj代入上式，注意到势能函数V=V（q1，q2，…，qk）与广义速度无关jq则有0)(])([ddjjqVTqVTt即0jqV令VTL称为拉格朗日函数故保守系统的拉格朗日方程为0)(ddjjqLqLt)...,,2,1(kj三、保守系统的拉格朗日方程第七章拉格朗日方程§7-2拉格朗日方程一般完整系统的拉格朗日方程jjjQqTqTt)(dd)...,,2,1(kj四、几点说明（1）上面的拉格朗日方程确切应叫第二类拉格朗日方程，是与自由度数相同的二阶常微分方程。（2）拉格朗日方程可用于建立系统的运动微分方程，该方法的特点是用广义坐标，并从能量的观点研究系统动力学问题。保守系统的拉格朗日方程其中VTL称为拉格朗日函数。)...,,2,1(kj0)(ddjjqLqLt第七章拉格朗日方程§7-3拉格朗日方程应用举例第七章拉格朗日方