第四章 随机过程

张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页90（已经编辑到115页2008-3-20）第四章随机过程（电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12-2008.01）1.随机过程的概念及其分布律张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页91第四章随机过程为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。1、随机过程的概念及其分布律孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页92的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d代表日期，则一个随机过程可以表示为T=T(y,d)（4．1）图4.1乌鲁木齐1月份气温曲线、式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页93程在任一截口上表现为一个随机变量。又如随机过程X为X=asint+bcostX=X(a,b,t)（4.2）此式中a,b为随机变量。对某一确定的现实而言，a,b这两个随机变量就取确定值。这时t不同则X就表现为由一个正弦曲线与另一振幅不同的余弦曲线合成的一条曲线。它就是一个现实。反之，当t固定为t0时（在截口t0上）不同现实就有不同的a和b值。这时X就表现为一个随机变量了。与前例相比，此处a,b对应于y，t对应于d，X对应于T。气象台站经常分析的各种气象要素的时间演变曲线，都可视为各要素的随机过程的一些现实。如在某一固定时刻不仅仅只有一个气象要素值，而是一个要素场。这时此要素场随时间的变化变称为随机场。某年1月份或一个季节的500毫巴逐日天气图就是随机场的一个现实。随机过程在每个截口上既然都成了随机变量，所以在每个截口，此变量就也有概率分布。这常称为一维概率分布。如在两个截口（t1，t2）上则这两个变量的联合概率分布称为随机过程的二维概率分布。对一个随机过程来说仅了解一维或二维的概率分布尚不能对它的统计特性全部了解清楚。我们可以仿前再研究大于二维的任意n维的概率分布律。不过由于随机过程有无数截口，因而从原则上讲任何有限维数的分布律都不能对随机过程的统计特性作完备的描叙。这也表明了随机过程的概率分布律问题是十分复杂的问题。但是地某些随机过程有时可以用有限维的概率分布律描叙之。例如对正态分布的随机过程只要知道二维分布律就够了。张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页942、随机过程的数学期望及相关函数，两个随机过程的互相关函数由于直接研究随机过程的概率分布规律有困难，因而人们常把研究随机变量时用的求期望值、求相关矩等方法用于随机过程上，以大量简化问题。随机过程X（t）的数学期望Ex(t)为Ex(t)=E[X(t)]（4.3）此处E[X(t)]表示在每一截口t上对随机过程X的各种取值（是随机变量）作数学期望运算。即当随机过程的一维分布f(x,t)已知时有)(),()]([tExdxtxftXEx（4.4）一般而言Ex是参量t的函数。随机过程的方差Dx(t)由下式定义dxtExtxftDxx2)]()[,()(（4.5）用气象上的术语说，就是方差为距平值平方的数学期望。即})]({[)(2tExEtDxx（4.6）对两个不同的随机过程来说，它们的数学期望和方差随时间的变化相同并不等于这个随机过程的统计属性相同。图4.2就表示了这种情况。这里两个过程的期望（方差）值是相同的，但各自的不同时间之间的变量值的相关矩是不同的。相关矩随时间而变化的这个函数叫随机过程的自相关函数Kx(t,t’)简称相关函数。它由下式决定：（4.7）)]}()()][()({[),(),,,()]()()][()([),(tEtxtEtxEttKxdxdttxxftEtxtEtxttKxxxxxx张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页95图4.2数学期望和方差相同的两个随机过程式中x’(t’)即在t’时刻的X值（取在与x同一个现实上的）。F(x,x’,t,t’)即在截口t和t’上变量x和x’的二维概率分布密度。如用距平（中心化了的随机变量）表示，则可再简化为)]()([),(00tXxXEttKx（4.8）x0=x(t)-Ex(t),)()()(0tEtxtxx即为距平。有时为消除量纲和便于计算比较，把自相关函数在t和t’时的x的标准差（方差开平方）去除),(ttKx而得),(ttRx)()(),(),(tDtDttKttRxxxx（4．9）由于它实际上是t和t’时刻的x的相关系数，它变动于+1到-1之间，故常称之为标准化了的自相关函数。张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页96对),(ttKx当t=t不难得),(ttKx=Dx(t)（4.10）所以相关函数的概念已经包括了方差的概念。自相关函数的概念表达了一个随机过程不同截口上取值的相关性。这一概念也可以扩大到两个不同的随机过程中去。以表示两个随机过程不同截口取值的关连性。这时把两个随机过程X（t）,Y(t)的相关函数称为互相函数。它由下式（4.11）决定dxdyttyxftytxttKtEtytEtxEtYtXEttKxyyxxy),,,()()(),()]}()()][()({[)]()([),(0000式中f(x,y,t,t’)是x(y)在截口t(t’)取值的概率分布密度。类似地也有标准化了的互相关系数Rxy)()(/),(),(tDtDttKttRyxxyxy（4.12）它也仅变动于+1到-1之间。相关函数显然有对称性),(),(ttKttKxx（4.13）对互相关函数类似有),(),(ttKttKyxxy（4.14）如果我们分析例如各年5月1日的气压与5月2日、3日、4日……的气压的相关矩的变化，它实际上就是一个随机过程（气压）的自相关函数。如研究气压与气温的如上各日的相关矩的变化，则就是研究气压和气温这两个随机过程的互相关函数。这一类例子在介绍平稳过程时再给出图例。张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页973、随机过程的运算气温、降水的逐日变化我们可以视为随机过程来研究。那么像滑动平均的气温、降水（如滑动的时间长度为一候、一旬、一个月等）随时间的变化当然也可以视为另一些随机过程来研究。现在问这些不同的随机过程之间有什么关系？！它们的数学期望和相关函数又有什么关系？显然如果我们对日气温这一随机过程作了充分研究，并且知道它与候、旬、月气温这些随机过程的统计特性有什么关系，那么直接从日气温的规律中推算出长、中期预告常用的这些候、旬、月气温的统计规律，这就可以克服长期预告中经常遇到的统计样本不足的困难。这一类问题还可以举出很多，它们都可归入随机过程的运算问题而统一研究之。现把一些常用计算介绍一下。设随机过程X(t)为两个随机过程X1(t),X2(t)之和，那么X(t)的数学期望和相关函数分别)()()(21tEtEtEx（4．15）),(),(),(),(),(1,22,121ttKttKttKttKttKx（4．16）式中右下标号“1”、“2”、“1，2”等分别代表x1,x2和x1与x2等。如果X（t）是n个随机过程的和niitXtX1)()(E则有niixtEtE1)()(（4．17）张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页98njijixttKttK1,,),(),(（4．18）如各Xi，Xj彼此独立，则在i≠j时有Kx,j=0，这时上式简化为niixttKttK1),(),(（4.19）如对随机过程X（t）进行微分得另一随机过程Y(t)，即)]([)(tXdtdtY则Y的数学期望Ey(t)和相关函数Ky(t,t’)与X的数学期望Ex(t)和Kx(t,t’)有如下关系)]([)(tEdtdtExy（4.20）ttttKttKxy),(),(2（4.21）4、马尔科夫过程（1）马尔科夫过程的定义随机过程这一概念本身反映了人们对变量X在不同时刻的取值的关系很重视。马尔科夫过程就是一种前后有联系，而这种联系又比较简单的一种随机过程。它的基本含义就是一个随机过程的未来状态仅与已知的最后时刻处于什么状态有关，而与更早的状态无关。如以x1,x0,x-1,x-2…分别代表随机过程X（t）在t1,t0,t-1,t-2…时刻的值，则马尔科夫过程就是指满足如下概率关系的过程...),,,(),()(210110101xxxxpxxxpxxp（4.22）张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页99这是一个条件概率的式子，它表明已知x0时，下一时刻的x值的条件概率分布等于t=t0,t=t-1,t=t-2,…甚至更早时刻的x值为已知时所得的条件概率。人们常称马尔科夫过程是无后效后。这是指这种过程的历史状态对未来状态的影响全部集中于最后时刻的状态中。历史状态不会对这一过程的未来状态提供比最后已知时刻的状态更多的信息。如马乐科夫过程的状态仅取离散的状态，时间也是仅取等步长的间隔，则这种状态离散、时间离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。严格地说以上定义的仅是简单的（一重的）马尔科夫链。如其条件概率与前两个（n个）状态有关，则称为二重（n重）马尔科夫链。在数学上可以将它们变成一重马尔科夫链来处理[27]。如前叙的条件概率只与序列的相对位置有关，而与时间的绝对位置无关时，则说它有时齐性（与以后讲的平稳性是一致的）。这样对于有时齐性的马尔科夫链有下面的等式...)()()(231201xxpxxpxxp（4.23）当分析气象问题时因不同季节条件概率常有差别，所以气象问题不一定满足时齐性关系。不过有时我们近似的认为在某一不长时段中具有此性质。而在不同时段选用不同的条件概率。一个序列如是马尔科夫链，常说它有马尔科夫性质。（2）马尔科夫链的转移阵如果X一共有k个状态E1，E2，…Ek。现以pij代表已知前一时刻X处于Ei状态，下一时刻它处于Ej状态的条件概率。那么由于i和j各有k个取值，故pij有k×k个取值。我们可张学文：气象预告问题的信息分析第四章随机过程原书91-132页