第四章 静定结构位移计算

1第四章结构的位移计算§4-1结构位移计算概述§4-2虚功原理§4-3结构位移计算的一般公式§4-4荷载作用下的位移计算§4-5图乘法§4-6支座移动、温度改变引起的位移计算§4-7互等定理2§4-1结构位移计算概述1.静定结构的位移及广义位移形状的改变称变形；位置的改变称位移AYAX无论是线位移还是角位移，无论是绝对位移还是相对位移均统称广义位移AB=A+BA’A’B’φAAPABPCDφCφDφCDφCD=φC+φD相对位移AXAYφA绝对位移BA3§4-1结构位移计算概述2.结构产生位移的原因（2）温度变化（材料胀缩）（3）支座沉降（制造误差）（1）荷载非荷载因素3.结构位移计算的目的（1）刚度验算（2）超静定结构分析的基础4§4-2虚功原理一.功的概念1.集中力作功αPΔcosPΔW2.集中力偶作功A’B’PPθOBPOAPABPMW功就是广义力与其相应广义位移的乘积。PPABO''BBPAAPW53.实功与虚功实功是力在自身引起的位移上所作的功，实功恒为正。Δ11Δ22Δ12§4-2虚功原理P11P22虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。11111PW22222PW12112PW如力与位移同向，虚功为正；反向时，虚功为负。6§4-2虚功原理两种状态力状态位移状态（力系所属的状态）（位移所属的状态）力状态位移状态虚功表达式：0BAAACVVMPWAAACVMPPCABMVBVAC’ΔCA’BθAΔA7满足约束条件、变形连续条件满足约束条件二.虚功原理§4-2虚功原理其中，W外—外力（含反力）在对应虚位移上所作的虚功的总和；W内—微段内力在对应虚变形上所作的虚功的总和。变形体平衡对于变形体发生的任何微小的允许的的虚位移与虚变形有W外=W内。2.变形体的虚功原理1.刚体体系的虚功原理刚体体系在某力系作用下平衡在体系发生的任何微小的允许的虚位移中，力系所作的虚功总和恒等于零。8)(QdNdMdW内3.虚功方程)(:QdNdMdW外故得变形体的虚功方程§4-2虚功原理微段ds的变形可分解为相对轴向变形dλ相对剪切变形dη相对转角dθdsdddρdsddsddsdρ——表示对结构中各杆求和表示沿杆件长度积分9§4-2虚功原理虚设力系（需满足平衡条件）求位移——单位位移法虚设位移（需满足约束条件，且是微小连续的）求未知力虚设广义单位荷载必须与拟求的广义位移相对应4.虚功方程的应用——单位荷载法10§4-3结构位移计算的一般公式11)(dQdNdMW内kkkkcRcRPW1外KK1RdsMdsNdsQ1___PK实际位移状态虚设单位力状态?ΔkckRP,dsddsddsd§4-3结构位移计算的一般公式2R3R1c2cP1P2)(1:dQdNdMcRkk得kkcRdQdNdM)(结构位移计算的一般公式故由变形体虚功原理：内外WW12结构位移计算的一般步骤：实际位移状态虚设单位力状态(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加虚设单位力；(2)求虚设单位力状态下的内力及反力的表达式；kRQNM,,,(3)用位移公式计算位移：kRQNM,,,§4-3结构位移计算的一般公式1c2cKKP1P21R2R1___PKkkcRdQdNdM)(13关于结构位移计算一般公式的说明：变形类型：弯曲变形、轴向变形、剪切变形。变形原因：荷载与非荷载因素（温度改变、支座移动等）。结构类型：各种杆件结构、包括静定或超静定结构。材料种类：弹性或非弹性材料。§4-3结构位移计算的一般公式kkcRdQdNdM)(1).表示虚设单位力状态中的微段截面内力及支反力；表示实际位移状态中的微段变形和支座移动。kRQNM,,,kcddd,,,2).计算结果为正时，表明与所设的单位荷载方向相同；计算结果为负时，表明与所设的单位荷载方向相反。3).公式具有普遍性（一般性）：计算位移形式：各种广义位移（绝对位移或相对位移）。14试确定与所求广义位移对应的虚设单位广义力。§4-3结构位移计算的一般公式BA?ABA?A1___M1___P1___P15?AA§4-3结构位移计算的一般公式CC左右=？?ABAB1___M1___M1___M1___M1___M16§4-3结构位移计算的一般公式11d11d21d21dAB?ABABCd?BCABC2d1d?ACAB1___P1___PdP1___dP1___17§4-4荷载作用下的位移计算具有普遍性。kkcRdQdNdM)(公式：)(dQdNdM一.微段变形的计算ddd,,注意：是实际位移状态中由荷载引起的微段变形。ddd,,dsddsddρds1曲率正应变剪应变根据材料力学知识有：dsEIMdsdPdsEANdsdPdsGAQkdsdPk—截面的剪应力分布不均匀系数，只与截面形状有关。0kc18§4-4荷载作用下的位移计算二.荷载作用下的位移计算公式dsGAQQkEANNEIMMΔPPP)(公式中：是虚设单位力状态中的微段截面内力；是实际位移状态中由荷载产生的微段截面内力。QNM,,PPQNM,,P)(dQdNdMdsEIMdsdPdsEANdsdPdsGAQkdsdP(只适用于弹性材料和荷载因素)19桁架：lEANNΔP组合结构：lEANNdsEIMMΔPP拱一般情况：dsEIMMΔP扁平拱：dsEANNdsEIMMΔPP梁、刚架：dsEIMMΔP§4-4荷载作用下的位移计算三.不同结构形式Δ公式的具体应用20CBAl/2ql/2ΔCVφB§4-4荷载作用下的位移计算例4.1求ΔCV和φB，EI=const。1）虚设单位力状态。解：1、求ΔCV。ql/2ql/2BA1___P1/21/22）求和表达式：MPM注意：和的积分起点和正号规定应一致。MPM)20(21lxxM)0(222lxxqxqlMP3）代入梁的位移计算公式：dsEIMMΔPCVdxEIxqxqlxl202)22)(21(2dxxqxqlEIl)22(12032EIql38454xx212、求φB。§4-4荷载作用下的位移计算CBAl/2ql/2ΔCVφBql/2ql/2xBA1___Mx1）虚设单位力状态。2）求和表达式：MPM)0(1lxxlM)0(222lxxqxqlMP1/l－1/l3）代入梁的位移计算公式：dsEIMMPBdxEIxqxqlxll02)22)(1(dxxlqxqEIl032)22(1EIql243（）22PP4aaABCDE§4-4荷载作用下的位移计算例4.2求ΔCV，EA=const。解：1、虚设单位力状态。2、求和。(标示于图中)NPN3、代入桁架的位移计算公式：lEANNΔPCV1___PPP1/21/21/222)(N)(PN1/22222221P2P200PPPaPaPaPEA2)()1(2)2()22(22121PaEA224PaEA83.623§4-5图乘法dsEIMMP荷载作用下，梁、刚架位移计算的积分公式：？简单方法知识回顾——虚设单位力状态的弯矩MP——实际位移状态由荷载产生的弯矩∫——沿杆长对被积分式进行积分dsEIMMP___∑——对所有杆件的积分结果求和___M24§4-5图乘法BBAAEIEIMP图M图xMαxyOyMPdxdω*cxCωdsEIMMPdxMtgxEIP)(1dxEItg)(cxEItgEIydxMMEIP1___积分运算简化为求图形面积、形心位置和竖标的几何问题。)(dxMxEItgP25§4-5图乘法等截面直杆（即EI=常数）1、图乘法的适用条件图、MP图中至少有一个是直线弯矩图M3、ω、y若在杆件的同側，则乘积取正号；反之取负号。y位移计算的图乘公式：EIydsEIMMP竖标y应取自直线弯矩图中，而ω取自另一个弯矩图；2、y所在的截面位置是由ω所取自弯矩图的形心位置确定的。图乘法注意事项：BBAAEIEIMP图M图αxyOy*cxCω26§4-5图乘法4、分段图乘的两种情况：EIyy2211**ω1y1y2ω2ω2ω1**y1y2EI1EI2EI1EI2222111EIyEIyEIEI27§4-5图乘法矩形lhlxc21三角形lh21lxc31标准二次抛物线lh31lxc41lh32lxc83lh32简单图形的面积、形心位置lh*lh*lh*顶点lh*顶点lh*顶点lxc21标准抛物线——含有顶点且顶点处的切线与基线平行的抛物线。0QdxdM顶点剪力必为零（）非标准抛物线?28§4-5图乘法标准三次抛物线29§4-5图乘法C2nl2)1(nln1nhlh标准n次抛物线30§4-5图乘法复杂图形的处理EIyyΔ2211cdy31321)(212dcy*ω2ω1*y1y21、梯形bacdl)(211ablla231§4-5图乘法2、有正负部分的直线弯矩图cdy31321ABCDlbacddcy31322EIyyΔ2211albl212121xef证：三角形ABC中，lxbe三角形DBC中，lxbffeω2ω1**y1y2323、均布荷载作用的非标准抛物线M1M2+§4-5图乘法281qlM1M2281ql33§4-5图乘法思考题：对如下两个弯矩图进行图乘求。CVA12lM图A22ql82qlBCPM图EIEICl/2l/2322ql)432232()232(83221)482(1222lqlllqlllqllEICV)(384174EIql34CBAl/2ql/2ΔCVφB例4.3求ΔCV和φB，EI=const。1）虚设单位力状态。解：1、求ΔCV。BA1___P§4-5图乘法2)作出图和MP图。M图M4lMP图BA281ql3）图乘求ΔCV。2)]485()81232[(12lqllEICV)(38454EIql应分段！4)8132(12lqllEICV？35§4-5图乘法CBAl/2ql/2ΔCVφB1）虚设单位力状态。2、求φB。2)作出图和MP图。M3）图乘求φB。BA1___M1图MMP图BA281ql])[(21813212qllEIB（）EIql324136§4-5图乘法例4.4求ΔCV，EI=1.5×105kN·m2。↓↓↓↓↓↓↓q=10kN/m6mACBP=20kN6m解：1.虚设单位力状态。2.作出图和MP图。M3.图乘求ΔCV。1___PMP6M300)]643(300631)632(3006212[1EIΔCV？非标准抛物线必须分解为简单图形再图乘!37例4.4求ΔCV，EI=1.5×105kN·m2。EIyyyΔCV332211§4-5图乘法1___PMP6M30045281ql↓↓↓↓↓↓↓q=10kN/m6mACBP=20kN6m解：1.虚设单位力状态。2.作出图和MP图。M3.图乘求ΔCV。ω1*ω2*y1y2y3ω3*90030062121463221