第四章 静定结构的位移计算

第四章静定结构的位移计算1结构位移计算概述2刚体的虚功原理3变形体的虚功原理4结构位移计算的一般公式5静定结构荷载作用下的位移计算6图乘法7支座移动、温度作用时的位移计算8互等定理结构位移计算概述一、结构的位移二、计算结构位移的目的三、功、广义力、广义位移结构位移计算概述位移的概念：结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上各点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。结构的位移通常有两种：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。线位移又分为：水平位移和竖向位移。位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：绝对位移和相对位移一、结构的位移结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。绝对位移结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。相对位移xyAAFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移水平位移角位移DC相对线位移CDDCFP相对角位移竖向位移AAAPAxAy引起结构位移的原因t制造误差等荷载温度改变支座移动还有什么原因会使结构产生位移?为什么要计算位移?二计算结构位移的目的铁路工程技术规范规定:(1)刚度要求桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移1/1000高度；最大层间位移1/800层高。(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；本章所研究的是线性变形体系的位移计算是指位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由荷载引起的位移也完全消失。满足如下基本假定：１、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；３、所有约束为理想约束，即约束力不作功。三功、广义力、广义位移功：力对物体作用的累计效果的度量功=力×力作用点沿力方向上的位移实功：力在自身所产生的位移上所作的功PPW21虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功区别于实功的重要特点。在简支梁上先加载FP1，使力FP1作用点的位移达到终值△11，再加载FP2，使力FP1的作用点发生位移△12，力FP1在位移△12上作的功叫虚功,即：W12=FP1△12虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式。根据叠加原理+虚功中的两种状态力状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）力状态位移状态BC`CLbaBC广义力、广义位移对于其他形式的力或力系所做的功也常用两个因子的乘积来表示，其中与力相对应的因子称为广义力，与位移相对应的因子称为广义位移。一个力系作的总虚功W=P×P---广义力;---广义位移PPW例:1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶MWMABMM3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶MMMMWBABA)(4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力PPABPPPPWBABA)(在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即W＝０。刚体的虚功原理利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，虚功原理有两种应用：1）虚设位移，求实际的力——虚位移原理；2）虚设力状态，求位移——虚力原理。1虚设位移求未知力(a)(b)如图（a）所示杠杆，在B点作用已知荷载FP，求杠杆平衡时在A点需加的未知力FA。把刚体取虚位移，如图（b）所示，根据刚体虚功原理得：其中：分别是沿FA和FP方向的虚位移。BA和令δA=1，且令δB表示位移之间的比例系数：，由图中几何关系得：BA和ABBacABB0BPAAFF(1)将（1）式除以ΔA，得PAFacF例求A端的支座反力(ReactionatSupport)解：去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)PXC(c)直线待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态0CXPX由外力虚功总和为零，即：baCX//将代入得:abPX/通常取xX1单位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题0BM1x单位位移法步骤：去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。例：利用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反力FBy。B`C`BPCBB(=1)LbaBC(1)去掉B支座链杆(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移(3)写出虚位移方程01PPByFF(4)求解虚位移方程解：LaδpLaFFPBy例：试求静定多跨梁在C点的支座反力Fx。DFECBAa2aa2aaFPFP(1)去掉C支座链杆，把支座反力变成主动力Fx(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移，并设δx=1。根据几何关系，可得：(3)写出虚位移方程(4)求解虚位移方程解：FPFPDFECBAFxABCEFD21X143,23210121PPXFFFPXFF43例：试求简支梁截面C的弯矩Mc，设在A端作用力偶荷载M。LbaCABM(1)去掉与弯矩Mc相应的约束，即将截面C由刚接改为铰接。同时弯矩Mc由约束力变为主动力，由一对大小相等、方向相反的力偶组成。(2)取虚位移，设C点竖向位移为Δc，则AC和BC两段的转角α和β分别为：(3)写出虚位移方程(4)求解虚位移方程bcac,0)(MMCLbMbaaMMc解：McBAMCΔcαβCAB例：试求简支梁截面C的剪力FQc，设全跨作用均布竖向荷载q。(1)去掉与剪力FQc相应的约束，即将截面C切开，加上两个平行梁轴的链杆。同时剪力FQc由约束力变为主动力，由一对大小相等、方向相反的竖向力组成。(2)取虚位移，两梁的转角为θ，C1、C2的竖向位移分别为aθ和bθ，相对竖向位移为aθ+bθ：(3)写出虚位移方程解：CLbaABqC2qBAC1FQCqC1ABC2θθ剪力FQC作的虚功为：lFbaFQCQC)(因此虚功方程为：微段dx上的均布荷载q在竖向位移y上作的虚功为：yqdxAC1段上的均布荷载q作的虚功为：22)21(1aqaaqdxyqCABC2段上的均布荷载q作的虚功为：22bq(4)求解虚位移方程02222bqaqlFQC)(2abqFQC2虚设力系求位移在拟求位移的方向设置单位位移，而在其他地方不再设置荷载。这个单位位移与相应的支座反力组成一个虚设的平衡力系。abB'A'c1AC静定梁支座A向上移动距离c1，拟求B点的竖向位移。（1）虚设的平衡力系1bRa（2）虚功方程1110cR（3）竖向位移111bcRca(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。单位荷载法ACB11R悬臂梁在截面B有相对转角，拟求A点的竖向位移。baBACA'（1）在B处加铰，把实际位移状态表示为刚体体系的位移状态。BACA'（4）竖向位移Ma（3）虚功方程10M1Ma（2）在A点沿拟求位移的方向虚设单位荷载，在B处加铰还虚设一对弯矩BACM1变形体的虚功原理虚应变能：当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以V表示。变形体系的虚功原理：设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功，即等于虚应变能。或简写为：外力虚功W=虚应变能V微段剪切dxdv22微段拉伸dxdu22微段弯曲dxdxM11dMM1NF11NNdFF1QF11QQdFFdx力状态位移状态2d221k对于杆件结构，设在力状态中任一微段dx的内力为FN1、FQ1、M1；而位移状态中杆件对应微段的相对变形，即正应变ε2、切应变γ2和曲率κ2。如图所示：微段上的虚应变能可表示为：dV=FN1du2+FQ1dv2+M1dφ2微段上的虚应变能：dV=FN1du2+FQ1dv2+M1dφ2对上式沿杆长进行积分，然后对结构的全部杆件求和，即得到杆件结构的虚应变能为：212121dMdvFduFVQN或dxkMdxFdxFVQN212121那么杆件结构的虚功原理就可表示为：212121dMdvFduFWQN或dxkMdxFdxFWQN212121杆件结构的虚功方程计算结构位移的一般公式Δc2c1B'C'D'A'DCBAFpFpdxFByR1R1BdxCDAFp=1求D点的水平位移实际状态虚拟状态在D点处沿水平方向加上一个单位荷载ＦＰ＝１，此时Ａ处虚拟状态的支座反力为B处的支座反力为，结构在单位力和相应的支座反力的作用下维持平衡，其内力用、、来表示。1R2RByFMNFQF虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移所作的总虚功为：22111CRCRW即：cRW以dφ、dυ、dμ表示实际状态中微段的变形，则总的虚应变能为：dMdvFduFVllQlN由杆件结构的虚功原理，得dMdvFduFcRllQlN即：cRdMdvFduFllQlN计算结构位移的一般公式求C点竖向位移求B点水平位移求C点转角位移求A、B两点相对竖向位移力的虚设方法CBCABABFp=1Fp=1M=1Fp=1Fp=1Fp=1Fp=1求A、B两点相对水平位移M=1求C点相对转角位移求CD杆相对转角位移Fp=1/LFp=1/LCCDABP=1P=1求A、B两点相对线位移P=1P=1BA求A、B两点相对线位移ABC2d1d11d11d21d21d求相对转角位移荷载作用下的位移公式结构只受荷载作用时实际状态下微段的变形：dxGAkFdxddxEAFdxdudxEIMkdxdQPNPPE——弹性模量；G——剪切弹性模量；A——截面面积；I——截面惯性矩；k——截面的切应力分布不均匀系数，只与截面形状有关.对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。式中：EI——杆件的抗弯刚度；GA——杆件的抗剪刚度；EA——杆件的抗拉刚度；NPF其中:PMQPF—荷载作用下结构产生的弯矩剪力、轴力NFMQF—单位力作用下结构产生的弯矩剪力、轴力代入虚功方程，并无支座移动（即c=0）得：cRdMdvFduFllQlN虚功方程：dxEIMMdxGAFFkdxEAFFlPlQPQlNPN(1)梁和刚架，轴向变形和剪切变形的影响甚小，主要考虑弯曲变形的影响，位移公式：dxEIMMP(2)桁架，只考虑轴向变形的影响，且每根杆件的内力及截面都沿杆长不变，故位移公式：EAlFFdxEAF