双因素方差分析法非常好的具体实例

双因素方差分析方法双因素试验的方差分析在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时，性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性能的变化就特别显著。统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它当成一个新因素来处理。我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的问题，用正交试验法比较方便。无交互作用的双因素试验的方差分析数学模型假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平，记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值Xij，得双因素无重复实验表双因素无重复（无交互作用）试验资料表因素A12...bBBB1112112..................baaabXXXXXX.1ajijiTX.1.2....bTTT..jjXTa.1biijjTX1XTab.1.2....bXXX因素B1...aAA..iiXTb1.....aTT1.....aXX11abijijTX无交互作用的双因素试验的方差分析ijijijX线性统计模型基本假设（1）相互独立；（2），（方差齐性）。ijX2~,ijijXN其中111abijijab所有期望值的总平均11biijija11ajijjibijijijX水平Ai对试验结果的效应水平Bj对试验结果的效应试验误差特性：2110;0;~0,abijijijN11biijija11ajijjibijijijX水平Ai对试验结果的效应水平Bj对试验结果的效应试验误差要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：0112:0aH0212:0bH总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和211abTijijSSXX可分解为：TABESSSSSSSS2.1aiAiSSbXX称为因素A的离差平方和，反映因素A对试验指标的影响。2.1bjBjSSaXX称为因素B的离差平方和，反映因素B对试验指标的影响。2..11abijEijijSSXXXX称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。2~,ijXN可推得：22~1TSSab2222,,,TABESSSSSSSS将的自由度分别记作,,,TABEdfdfdfdf，则~1,11AAAAEEESSdfMSFFaabSSdfMS22~11ESSab~1,11BBBBEEESSdfMSFFbabSSdfMS若假设成立，则：0102,HH22~1ASSa22~1BSSb对给定的检验水平，F右侧检验~1,11AAAAEEESSdfMSFFaabSSdfMS~1,11BBBBEEESSdfMSFFbabSSdfMS1,11AFFaab时，当1,11BFFbab时，当拒绝H01，即A因素的影响有统计意义。拒绝H02，即B因素的影响有统计意义。双因素（无交互作用）试验的方差分析表方差来源因素A总和平方和ASSBSSTSS自由度AdfEdfTdf均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF值AAEMSFMSF值临介值(1,11)Faab因素B误差ESSBdfBBBSSMSdfBBEMSFMS(1,11)Fbab,ETABETABdfdfdffSSSSSSSS注意各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。双因素（无交互作用）试验的方差分析表,AABBSSDpSSDp简便计算式：其中：2.1,aAiiDTb,EABTSSRDDpSSRp2.1,bBjjDTa2,pTab211abijijRX例1设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天，其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著影响？工人A506352475442475741535848.1ajijiTX..jjXTa.1biijjTX51X49.358.045.8机器B..iiXTb612T甲乙丙丁ⅠⅡⅢ19723218316514314515955.047.748.353.0解基本计算如原表21131678abijijRX2.1123495aAiiDTb2.1142040.67bBjjDTa231212Tpab466TSSRp114.67AASSDp318.5BBSSDp32.83ETABSSSSSSSS111Tdfn13Adfa12Bdfb6EAbdfdfdf38.223AAAMSSSdf159.25BBBMSSSdf5.47EEEMSSSdf6.98AAEFMSMS29.10BBEFMSMS0.013,69.78F0.012,6BFF0.053,64.76F0.050.013,63,6AFFF0.012,610.92F结论：工人对产品的产量有显著影响，机器对产品的产量有极显著影响。例1的上机操作对应例1的数据输入方式原始数据，行因素水平，列因素水平***0.010.0220.050.0010.01在下接受，在下否决0.010.05在下否决0.01（A）（B）工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。有交互作用的双因素试验的方差分析ijkijijkijX线性统计模型基本假设（1）相互独立；（2），（方差齐性）。ijX2~,ijijXN有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水平的搭配必须作重复试验。处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，即把每种搭配AiBj看作一个总体Xij。观测值总平均因素A的效应因素B的效应交互作用的效应试验误差有交互作用的双因素试验的方差分析线性统计模型其中111abijijab所有期望值的总平均11biijija11ajijjibijkijkijX水平Ai对试验结果的效应水平Bj对试验结果的效应试验误差ijkijijkijXijijij交互效应特性：110;0;abijij要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：0112:0aH0212:0bH2110;0;~0,abijkijijijN03:01,2,,;1,2,,ijHiajb总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和2111abnTijkijkSSXX可分解为：TABABESSSSSSSSSSSSA称为因素A的离差平方和，反映因素A对试验指标的影响。SSB称为因素B的离差平方和，反映因素B对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和，反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。2~,ijkXN若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设成立，则则~1,1AAAAEEESSdfMSFFaabnSSdfMS可推得：222222~1,~1,~1ABTSSSSSSababn2222~11,~1ABESSSSababn~1,1BBBBEEESSdfMSFFbabnSSdfMS~11,1ABABABABEEESSdfMSFFababnSSdfMS由作右侧假设检验来考察各因素及因素间的交互作用对试验指标的影响力.,,ABABFFF双因素有重复（有交互作用）试验资料表因素A12...bBBB1111211111121..................bnnbnXXXXXX.........因素B1AaA1121112..................aaabananabnXXXXXX双因素（有重复）试验方差分析表方差来源因素A总和平方和ASSBSSTSS自由度AdfEdfTdf均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF值AAEMSFMSF值临介值(1,1)Faabn因素B误差ESSBdfBBBSSMSdfBBEMSFMS(1,1)FbabnABABSSABdfABABABMSSSdfABABEMSFMS(11,1)Fababn各离差平方和的计算公式参看出P180_181ABABdfdfdf这里例3P183例题2因素A（能量）123BBB因素B（蛋白质）1A2A9.626.154.938.687.865.599.317.386.109.977.055.467.746.303.336.845.812.856.346.543.606.096.633.19输入数据时，C2表示行因素水平，C3表示列因素水平。第几次重复不必列明，软件自会识别。结果显示如P185均0.01饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同及两者的交互作用对鱼的体重的影响极有统计意义。各因素，各水平，各交互作用下的均值。作业P19534（借助软件完成）预习第三节正交试验设计及其统计分析