第4.2讲 排序查询和多表操作

§1.3导数在研究函数中的应用§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1.了解可导函数的单调性与其导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.教学重点：利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.教学难点：利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.教学过程：一、创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用.二、新课讲授1.问题如右图(1),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像,右图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即()ht是增函数.相应地,'()()0vtht.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即()ht是减函数.相应地,'()()0vtht.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如右图,导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率.在0xx处,'0()0fx,切线是“左下右上”式的,这时,函数()fx在0x附近单调递增;在1xx处,'0()0fx,切线是“左上右下”式的,这时,函数()fx在1x附近单调递减.结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内,如果'()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递增;如果'()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递减.说明:)(xf在某区间内为常数,当且仅当0)('xf在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与x轴平行).3.求解函数()yfx单调区间的步骤(1)确定函数()yfx的定义域;(2)求导数''()yfx;(3)解不等式'()0fx,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间.三、典例分析例1已知导函数'()fx的下列信息:当14x时,'()0fx;当4x或1x时,'()0fx;当4x或1x时,'()0fx.试画出函数()yfx图像的大致形状.解:当14x时,'()0fx,可知()yfx在此区间内单调递增;当4x或1x时,'()0fx,可知()yfx在此区间内单调递减;当4x或1x时,'()0fx,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.综上,函数()yfx图像的大致形状如上图所示.例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间.(1)3()3fxxx(2)2()23fxxx(3)()sin(0,)fxxxx(4)32()23241fxxxx解:(1)因为3()3fxxx,所以'22()333(1)0fxxx因此3()3fxxx在R上单调递增,如下图左所示.(2)因为2()23fxxx,所以'()2221fxxx当'()0fx即1x时,函数2()23fxxx单调递增;当'()0fx即1x时,函数2()23fxxx单调递减;函数2()23fxxx的图象如上图右所示.(3)因为()sin(0,)fxxxx,所以'()cos10fxx因此,函数()sinfxxx在(0,)单调递减,如下图左所示.(4)因为32()23241fxxxx,所以.当'()0fx即时,函数2()23fxxx;当'()0fx即时,函数2()23fxxx;函数32()23241fxxxx的图象如下图右所示.注:(3)、(4)生练.例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解:1,2,3,4BADC思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.例4求证:函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数.证明:因为'22661262612yxxxxxx当2,1x即21x时,'0y所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数.说明:证明可导函数fx在,ab内的单调性步骤:(1)求导函数'fx;(2)判断'fx在,ab内的符号;(3)做出结论:'0fx为增函数,'0fx为减函数.例5已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数,求实数a的取值范围.解:'2()422fxaxx因为fx在区间1,1上是增函数所以'()0fx对1,1x恒成立即220xax对1,1x恒成立解之得11a所以实数a的取值范围为1,1.说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则'()0fx;若函数单调递减,则'()0fx”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.类型题1:设函数axxxf1)(2,其中0a,求a的取值范围,使函数)(xf在),0(上是单调函数.解:axxxf1)('2,其中0a当),0(x时,)1,0(12xx要使函数)(xf在),0(上是单调函数则必然要求0)('xf,由此可知1a.类型题2:函数kxexy2在)1,0(上单调递增,求实数k的取值范围.例6已知函数xxy1,试讨论出此函数的单调区间.解:22)1)(1(1'xxxxy令0)1)(1(2xxx,解得1x或1x∴xxy1的单调增区间是)1,(和),1(令0)1)(1(2xxx解得01x或10x∴xxy1的单调减区间是)0,1(和)1,0(例7当0x时,证明不等式xxxx)1ln(1成立.证明:作函数)1ln(1)(xxxxf,当0x时,0)1()('2xxxf知)(xf单调递减,当0x时,0)(xf知)(xf在0x时,0)(xf;作xxxg)1ln()(,当0x时,01)('xxxg知)(xg单调递减,当0x时,0)(xg知)(xg在0x时,0)(xg.综上xxxx)1ln(1类型题1:对于任意的实数x,证明:1xex.类型题2:当0x时,证明不等式2211xxex.四、课堂练习1.求下列函数的单调区间(1)762)(23xxxf(2)xxxf21)((3)xxfsin)(,]2,0[x(4)xxyln2.课本练习五、回顾总结1.函数的单调性与导数的关系2.求解函数()yfx单调区间3.证明可导函数fx在,ab内的单调性六、布置作业§3.3.2函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念;2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;3.掌握求可导函数的极值的步骤.教学重点：极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一、创设情景观察下左图,我们发现,ta时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数()ht在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地,导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数()ht的图像,如下右图,可以看出0)('ah,在ta附近,当ta时,函数()ht单调递增,()0ht;当ta时,函数()ht单调递减,()0ht;这就说明,在ta附近,函数值先增(ta,()0ht)后减(ta,()0ht),这样,当t在a的附近从小到大经过a时,()ht先正后负,且()ht连续变化,于是有()0ha.对于一般的函数yfx,是否也有这样的性质呢？附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.二、新课讲授1.问题从跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像及高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即()ht是增函数.相应地,'()()0vtht.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即()ht是减函数.相应地,'()()0vtht.2.函数的单调性与导数的关系导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率.在0xx处,'0()0fx,切线是“左下右上”式的,这时,函数()fx在0x附近单调递增;在1xx处,'0()0fx,切线是“左上右下”式的,这时,函数()fx在1x附近单调递减.结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内,如果'()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递增;如果'()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递减.说明:)(xf在某区间内为常数,当且仅当0)('xf在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与x轴平行).3.函数的极值与导数一般地,设函数)(xf在点0x附近有定义,如果对0x附近的所有点,都有)()(0xfxf,就说)(0xf是函数)(xf的一个极大值,记作)(0xfy极大值,0x是极大值点.一般地,设函数)(xf在点0x附近有定义,如果对0x附近的所有点,都有)()(0xfxf,就说)(0xf是函数)(xf的一个极小值,记作)(0xfy极小值,0x是极小值点.注:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小奎屯王新敞新疆并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,1x是极大值点,4x是极小值点,而)(4xf)(1xf.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.4.判别)(0xf是极大、极小值的方法若0x满足0)(0xf,且在0x的两侧)(xf的导数异号,则0x是)(xf的极值点,)(0xf是极值,并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”,则0x是)(xf的极大值点,)(0xf是极大值;如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”,则0x是)(xf的极小值点,)(0xf是极小值.5.求可