正交小波基的构造

信号多分辨表示与尺度函数一个正交小波基由一个母小波函数（motherwaveletfunction）ψ的伸缩和平移生成：2,12()()(,)22jjnjtntjjψψ⎧⎫−⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Zn构成2()LR空间的一组规范正交基，也就是说：,,(),()()()jnlmttjlnm10ψψδδ=−−⎧=⎨⎩(1)nmjl==且其他利用正交小波基，我们可以把任一个能量有限的连续时间信号展开成小波级数（Waveletseries）,就是说，2()()ftLR∀∈,,()()()()jnjnjnftfttdtψψ=∑∑t∫(2)其中，过程dtttfnjfwnj)()(),;(,∫=ψ称作小波分解，相应的系数称作小波系数。另外，按照(2)式的级数展开，从小波系数很容易恢复到原信号。于是，基于小波变换的信号处理可以用下面的框图表示ˆˆ()(;,)(;,)()ftwfjnwfjn⎯⎯⎯→→→⎯⎯⎯→分解重构系数域处理ft(3)本质上，小波分解是众多正交基下函数展开的一个特例。关键在于小波基独特的多分辨结构和时频局部化特性使得它在信号处理时比其它的正交基（如：三角级数、正交多项式、一般的原子分解等）在计算上更快速、在处理上更有效。不同于连续小波，正交小波基在相关结构上具有更高的要求。因此，正交小波的构造是非常具有技巧性的。构造正交小波基的基本支撑是多分辨分析（Multiresolution---1---analysis,MRA）.7.1多分辨分析的基本概念定义7.1：多分辨分析(MRA)一个2()LR上的子空间序列{}jVj∈Z，满足下列5条性质:①嵌套性质：1jjV+⊂Vj∀∈Z……10VV−1V⊃⊃……②细分性质：{}lim0jjjjVV∞→∞=−∞==∩③完备性质：2lim()()jjjjVClosureVLR∞→−∞=−∞==∪④多尺度关系：1()()2jjtftVfV+∈⇔∈⑤尺度内结构：存在的一组Rieze基由一个函数0V()tθ的整数平移构成，即：{}0(),Vspantnnθ=−∈Z(4)所谓Rieze基是指，存在正常数,0AB使得0()ftV∀∈()()()ftantθn=−∑满足：222()nAfan∞Bf=−∞≤≤∑(5)---2---从多分辨率分析的定义容易得出下列结论：♥多分辨逼近2()fLR∀∈,设()jPf表示)(tf在子空间上的正交投影，那么，jV2lim()0jjfPf→−∞−=.这表明了，函数序列{()}jjPf−∞=+∞当时依范数收敛于j→−∞()ft。因此，函数序列()jPf称作函数)(tf的一个多分辨逼近。♥多分辨基的相似结构{}/22(2),jjjVspantnnθ−−=−Z∈(6)也就是说，一旦知道了在某个多分辨子空间上的一个Rieze基，其它子空间上的Rieze基具有相似的结构。证明：首先由性质④，/20()2(2)jjjtnVtnVθθ−−−∈⇒−∈0()(2)jjftVftV∀∈⇔∈(2)()()jftantθn=−∑''2,2ijtttt−==⎯⎯⎯⎯⎯⎯→()()/2/2()2()2(2)jjjftantθ−−=−n∑这表明了这些函数张成了子空间。下面说明这些函数构成Rieze基。jV0()(2)jjftVftV∀∈⇔∈，(2)()()jftantθn=−∑，因此，---3---222(2)()(2)jjAfanBf⋅≤≤⋅令2,2jjtxdxdt−==22221(2)(2)()22jjjjRRdtffxdxftf⋅===∫∫()()/2/2()2()2(2)jjjftantθ−−=−∑n于是，2222/222()22(2)jjjj2AfanaBfBf≤=≤⋅=这也表明了所有子空间的Rieze基具有相同的上下界。♥双尺度方程从01(){2(2),}tVVspantnnθθ−∈⊂=−∈Z可以得到()()2(2)2()(2nnthntnhntθθθ)n=−=−∑∑(7)上面的方程被称作双尺度方程。相应的系数被称作尺度滤波器。特别是，当尺度滤波器满足一个比较宽松的条件时，双尺度方程存在解，并且解在相差一个非零乘子意义下是惟一的。)(nh)(2RL♥正交多分辨分析如果函数()tθ满足平移正交性，即(),()()tntmnmθδ−−=−10⎧=⎨⎩(8)nmmn=≠θ那么，{}(),tnnθ−∈Z构成了子空间的标准正交基。进一步，函数族{0V}/22(2),jjtnnθ−−−∈Z构成了子空间jV的标准正交基。---4---结果，多分辨分析的每个多分辨子空间有一组标准正交基，相应的多分辨分析称作正交多分辨分析。与多分辨分析相联系的另一个概念是多尺度分析（MultiscaleAnalysis）.多尺度分析是比多分辨分析更广泛的一个概念。从应用的角度看，信号的多尺度分析等同于在不同的分辨率下观察一个信号。下面我们看一幅灰度图像的多尺度表示。Fig.1Lena图像的三层多分辨表示事例，可以看出随着多分辨子空间的变小，图像的多分辨投影在逐渐丢失一些细节信息。---5---7.2其它类型的多分辨分析在前面的多分辨分析定义中，多尺度关系④中的因子2规定了多分辨分析的结构，相应的多分辨分析称作2-进多分辨分析。事实上，因子2也可以被其它大于1的整数M所代替，从而导出了M-进多分辨分析。M-进多分辨分析M-进多分辨分析的定义中，条件①,②,③,g与2-进多分辨分析相同，条件④被代替为④’：1()(/)jjftVftMV+∈⇔∈(9)这种一般化导致了多分辨结构的下列变化：{}/2(),jjjVspanMMtnnθ−−=−Z∈(10)()()()ntMhnMtθθ=n−∑(11)2-进多分辨分析是构造2-带小波的基础，而M-进多分辨分析是构造M-带小波的基础。为了形象地描述它们对空间分割的差别，我们示例了2-进多分辨分析和4-进多分辨分析的空间划分结构。可以看出，4-进多分辨分析中，随j的增加，多分辨空间收缩更快。0V1V2V2M=0V4M=1V2V图7-22-进和4-进多分辨分析的空间划分示意图---6---2-重2-进多分辨分析在前面多分辨分析的定义中，如果条件①，②，③，④保持不变，条件⑤被替换为⑤’：{}012(),():Vspantntnnθθ=−−Z∈∈(12)那么，相应的多分辨分析被称为2-重2-进多分辨分析。导致的多分辨结构变化如下：{}/2/2122(2),2(2):jjjjjVspantntnnθθ−−−=−−Z(13)矩阵型的双尺度方程()()111112()()222122()(2)(2)22()(2)(2)nnnnnnaattnnttnaaθθθθ⎛⎞−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑h12()tntnθθ---(14)从2重2-进的多分辨分析可以导出常用的2-重2-进多小波。另外，如果在多分辨分析的定义中，条件①，②，③保持不变，条件f被④’代替，条件⑤中，由K个函数的整数平移张成，则得到了更一般的0VK重M-进多分辨分析。7.3正交尺度滤波器和尺度函数下面我们主要介绍两带尺度滤波器和尺度函数的构造。事实上，M-带尺度滤波器和尺度函数在构造上，方法是类似的。而对于多重多分辨分析，由于尺度滤波器是一个矩阵序列，相应的构造方法有较大的差异。命题7.1函数族{}()ntnθ∈−Z构成的一组Rieze基存在A,B0使得0V⇔[,]ωππ∀∈−---7---211ˆ(2)kkBAθωπ∞=−∞≤−≤∑(15)证明：0fV∀∈()()()nftantθn∞=−∞=−∑Fouriertransform↓ˆˆˆ()()()faωωθω=22222011ˆˆˆ()(2)(2)22kRffdakkdπωωωπθωππ∞=−∞==++∑∫∫πωˆ()2ˆˆ()(2)aaakωπωπω=+⎯⎯⎯⎯⎯⎯→周期为22201ˆˆ()(2)2kakπdωθωπωπ∞=−∞+∑∫故22201ˆ()()2naaπωnπ∞=−∞=∑∫若(tn)θ−满足（15）式，则：2211()()nnanfanBA∞∞=−∞=−∞≤≤∑∑222()2AfanB≤≤∑f,故{}()ntnθ∈−Z构成的一组Rieze基.0V若{}()ntnθ∈−Z是的一组Riese基，若存在一个非零测度集0VΩ使得2ˆ(2)kθωπ+=∑0或2ˆ(2)kθωπ+=∞∑这时，构造序列满足()an---8---1ˆ()0aω⎧=⎨⎩ωω∈Ω∉Ω则，222201ˆˆ()(2)02nfakdπωθωπωπ∞=−∞=+∑∫=这与Rieze基的定义相矛盾(()()()0()0ftantnanθ=−≡⇒=∑)若另一种情况出现，可用类似方法构造特例并推出矛盾！„推论：若{}()ntnθ∈−Z构成的标准正交基0V⇔2ˆ(2)nkθωπ∞=−∞+∑1=a.e（几乎处处）由命题7.1，{}()ntnθ∈−Z构成标准正交基⇔框架界A=B=1⇔2ˆ(2)nkθωπ∞=−∞1+=∑a.e（几乎处处）两带正交尺度函数定理7.1：设两带正交函数满()xϕ满足双尺度方程()2()(2)xhnxnϕϕ=−∑(16)那么尺度滤波器满足条件(正交性条件)()hn(17)()(2)()nhnhnkkδ−=∑证明：由()xϕ正交(),()()()Rxxkxxkdxϕϕϕϕ−=−∫2()(2)2()(2())nmRhnxnhmxkmdxϕϕ=−−∑∑−∫2()()(2)(22)nmRhnhmxnxkmdxϕϕ=−−−∑∑∫()()()(2)nmRhnhmtntkmdtϕϕ=−−−∑∑∫()()(2)nmhnhmnkmδ=−−∑∑---9---()(2)()nhnhnkkδ=−=∑„尺度滤波器的频率响应定义为()()()expnHhninωω=−∑(18)定理7.2若滤波器满足正交性条件(17),则()hn0ω∀22()()2(0)2HHHωωπ++==(19)证明：2()()()HHHωωω=()exp()()exp()nmhninhmimωω=−∑∑()()exp(())nmhnhminmω=−∑∑−knmkmn−==−=,(()())exp()nhnhnkikω−−∑∑类似地，2()Hωπ+(()())exp(())knhnhnkikωπ=−−∑∑+(1)(()())exp()kknhnhnkikω=−−−∑∑于是，22()()((1)1)(()())exp()kknHHhnhnkikωωπω++=−+−−∑∑'2(()(2'))exp(2')knhnhnkikω=−∑∑−='2(')exp(2')2kkikδω=−∑进一步，对双尺度方程()2()(2)xhnxnϕϕ=−∑两边作变换，我们得到Fourierˆ()()jxRxedxωϕωϕ−=∫2()(2)jxRhnxnedxωϕ−=−∑∫---10---(2)222()(2)jxnjnRhnxneedxωωϕ−−−=−⋅∑∫()221()()2jtjRhntedtenωωϕ−−=∑∫211ˆˆ()()()()2222jnhneHω2ωωωϕϕ−==∑()2()()22Hωωϕωϕ=由于尺度函数是低通的函数，于是,ˆ(0)0ϕ≠。这样我们得到(0)ˆˆ(0)(0)(0)22HHϕϕ=⇒=(20)这样我们证明了正交尺度滤波器应该满足的条件。„什么条件下一个正交滤波器能够确定一个正交两带尺度函数呢？()hn定理7.3如果尺度滤波器满足下列条件：①22()()2HHωωπ++=；②(0)2H=；③[/2,/2]inf()0Hωππω∈−；则双尺度方程生成了正交尺度函数()xϕ，()xϕ的傅立叶变换是1/21ˆ()2()2kkHωϕω∞−==∏(21)注：当滤波器是FIR的，()hn()Hω是连续函数。条件③可简化为：()Hω在[/2,/2]ππ−上没有零点。当滤波器还是实系数和FIR的，条件③可简化为：()Hω在[0,/2]π上没有零点。---11---这个定理的证明比较复杂。主要涉及两个方面的问题。（1）尺度滤波器满足什么条件时，双尺度方程存在非平凡的解？（2）尺度滤波器满足什么条件时，双尺度方程