第4章 向量组的线性相关性

暨南大学珠海学院第四章向量组的线性相关性暨南大学珠海学院一.向量及其线性运算1.n维向量定义：n个数12,,,naaa所组成的有序数组12,,,naaaiia这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为第个分量。称为一个n维向量。暨南大学珠海学院分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.以后我们用小写希腊字母,,来代表向量。暨南大学珠海学院12,,,naaa注：向量可看成特殊的矩阵0,0,,0零向量：12nbbb区别只是写法不同。列向量：行向量：本书中向量都指列向量，行向量用表示T暨南大学珠海学院2.向量的运算和性质就称这两个向量相等，记为1,2,,iiabin的对应分量都相等，即：12,,,Tnbbb12,,,,Tnaaa向量相等：如果n维向量暨南大学珠海学院12,,,Tnaaa12,,,Tnbbb()向量减法：的负向量12,,,Tnaaa称为向量12,,,Tnaaa负向量：向量的和，记为1122,,,Tnnababab称为向量向量加法：向量暨南大学珠海学院12,,,Tnkakakak数乘向量：设k为数域P中的数，12,,,Tnaaa是向量。称为数k与向量的数量乘积。规定：暨南大学珠海学院0)4(0)3()())(2()1(kkklklkkllk)8()7()()()6(1)5(运算律暨南大学珠海学院注：（4）如果0,则00或00;(1);00.（3）,,oo使得唯一的零向量（1）对任意的向量存在()o使得,负向量（2）对任意的向量,存在唯一的暨南大学珠海学院定义：nR实数域上所有n维向量组成的集合，连同它们上面定义的线性运算，称为实数域上的n维向量空间，记为暨南大学珠海学院1.线性组合与线性表示二.向量的线性相关性12:,,,,mA12,,,,mkkk1122mmkkk12,,,mkkk称为这个线性组合的系数。称为向量组A的一个线性组合，向量定义1：给定向量组对于任何一组实数暨南大学珠海学院12:,,,,mA,12,,,m1122mm能由向量组A线性表示。或称向量是向量组A的线性组合，则称向量使得如果存在一组实数和向量定义2：给定向量组暨南大学珠海学院性质1：零向量可由任何向量组线性表示性质2：向量组中每个向量都可由该向量组线性表示暨南大学珠海学院线性方程组的向量表示：.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn设12n1122nnxxx⑴⑵式⑵是线性方程组⑴的向量表示式．暨南大学珠海学院12s12srr,,,,,,,定理1：线性表示当且仅当线性方程组：12s,,,能由列向量组列向量当且仅当分块矩阵的秩满足：1122ssxxxL有解暨南大学珠海学院1212,,,,,,,TTTTTTTssrr推论：线性表示当且仅当分块矩阵的秩满足：12s,,,能由行向量组行向量暨南大学珠海学院解：例1判断能否由线性表示？123,,若能够，写出它的一种表出方式．123(5,4,4,1),(1,0,1,2)(3,4,2,5),(1,4,0,9).13151022044401111204000025910000A()()2,rArA∴能由线性表示，123,,122,123(,,,)TTTTA行初等变换简化阶梯形矩阵，232.或暨南大学珠海学院例2.已知1231,4,0,2,2,7,1,3,0,1,1,,3,10,,4,TTTTab问：⑴a,ｂ取何值时,β不能由123,,线性表示?⑵a,ｂ取何值时,β能由123,,线性表示?并写出线性表出式．解：⑴12(,,,,)sA120312034711001101100102340002bbaab暨南大学珠海学院2b时，β不能被表出．123(2)2,120;ba时，时，或13122,1322ba暨南大学珠海学院2.向量组的线性表示与等价向量组B线性表示。线性表示，则称向量组A可以由12:,,,tB都可以由向量组(1,2,,)iis中的每一个向量12:,,,sA定义3：如果向量组性质：向量组A能由B表示，且B能由C表示，则A能由C表示.暨南大学珠海学院定理：向量组等价具有：反身性；对称性；传递性。定义4：若向量组A可以由向量组B线性表示。同时向量组B也可由向组量A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。暨南大学珠海学院12:,,,tB定理2：向量组能由向量组12:,,,sA线性表示当且仅当存在矩阵满足：stC1212,,,,,,tsstC当且仅当矩阵方程有解。AXB其中：sA12,,,当且仅当,.rArABtB12,,,暨南大学珠海学院12:,,,tB只证明：向量组能由向量组12:,,,sA线性表示12121,,,,,,,ssrr当且仅当,.rArAB,,,iirArArABrArA2121,,,,s显然能由表示1211212,,,,,,,,,ssrr,,.rArAB充分性：由下式即得必要性：暨南大学珠海学院12:,,,tB定理3：向量组能由向量组12:,,,sA线性其中：表示，则.rBrA1212,,,,,,stAB暨南大学珠海学院定理4：向量组12:,,,sA12:,,,tB与向量组等价当其中：且仅当,rArBrAB1212,,,,,,stAB暨南大学珠海学院例：设TT121,1,1,1,3,1,1,3,可见证明132131321313213110110422202111111020211100000131200633300000,ABAB12123,,,,TTT1232,0,1,1,1,1,0,2,3,1,2,012,证明向量组等价。123,,与2rArBrAB,暨南大学珠海学院2.线性相关,线性无关:,,,,,,,,A,A.mmmmAkkkkkk121211220给定向量组如果存在不全为零实数使称向量组线性相关否则称向量组线性无关定义1：暨南大学珠海学院几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线.(2)三向量线性相关：三向量共面.注：向量组12,,,nL线性相关11220nnxxxL(无关)当且仅当齐次线性方程组有非零解(只有零解)暨南大学珠海学院(p168—12)例1.如果向量组12,,,s线性无关,试证:向量组11212,,,s线性无关.证:设1111222()()0sskkk112232()()0sssskkkkkkk暨南大学珠海学院12,,,s线性无关,122000ssskkkkkk方程组的系数行列式为11101110001∴方程组仅有零解,120,skkk11212,,,s线性无关.暨南大学珠海学院证明：如果向量组,,线性无关，则向量组,,也线性无关．证：令123()()()kkk整理后得131223()()()kkkkkk123,,线性无关，131223000kkkkkk10111020011∴方程组仅有零解，1230kkk,,线性无关．例2.(书p134—例5)暨南大学珠海学院定理2:n维列向量组m,,,2112mr=m,,,线性无关当且仅当分块矩阵的秩满足：n维列向量组m,,,21定理1:12mrm,,,线性相关当且仅当分块矩阵的秩满足：暨南大学珠海学院n维行向量组m,,,21推论1:12,,,TTTmrm线性相关当且仅当分块矩阵的秩满足：推论2：n维行向量组m,,,21线性无关当且仅当分块矩阵的秩满足：12,,,TTTmr=m暨南大学珠海学院推论4：n个n维行向量组m,,,2112,,,0TTTn线性无关当且仅当行列式满足：n个n维列向量组12,,,n推论3：,,,012n线性相关当且仅当行列式满足：暨南大学珠海学院例1判断向量组123(1,2,0,3),(2,5,1,0),(3,4,1,2),是线性相关还是线性无关.解：123123123254011,,)011001302000TTTA（()3rA(向量的个数)，123,,线性无关.行初等变换暨南大学珠海学院例2判断向量组12(1,2,1,5),(2,1,1,1),3(4,3,1,11)是线性相关还是线性无关.123124124213011,,)1110005111000TTTA（()23rA(向量的个数)，123,,线性相关.解：(书p133—例3)暨南大学珠海学院例3：问n维向量组1(1,0,,0),21(1,1,0,,0),,(1,1,,1,0),(1,1,,1)nn线性相关还是线性无关．解：12,,,n用作为行构成n阶方阵A，则100110111A1012,,,n线性无关．暨南大学珠海学院例4.设123,,线性相关，234,,线性无关，问1能否由23,线性表出，4能否由123,,线性表出？解：234,,线性无关，23,线性无关，123,,又线性相关，1能由23,线性表出，4若能由123,,线性表出，则4能由23,线性表出，234,,与线性无关矛盾,4不能由123,,线性表出。暨南大学珠海学院1231012,2,0.32t例5.向量组t取何值时线性相关,取何值时线性无关.设解:方法一123,,,A1011011012200220223205005Attt当3,5RAt即时,123,,线性相关,当3,5RAt即时,123,,线性无关.暨南大学珠海学院方法二10122010232Att当0,5At即时,123,,线性相关,当0,5At即时,123,,线性