62点到直线的距离公式

第2课时点到直线的距离公式工厂工厂在公路的一侧，准备修一条水泥路和公路连接，请问怎样修才能使工厂距离公路最近，请画出所修的路线.你认为哪种方案最节省材料？你的理由是什么？最短距离应是垂线段AB，所画的这条线段我们给它起了一个名字，叫作——点到直线的距离！我们本节课来研究它！工厂AB1.知道点到直线的距离公式的推导过程.（重点）2.会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离.（难点）思考1：如何计算点P(-3，5)到直线L:3x-4y-5=0的距离呢？提示：过点P作PH⊥L，垂足为H，则点P到直线L的距离就是线段PH的长．通过求点H的坐标，用两点间的距离公式求PH．Oxy3x-4y-5=0)5,3(PH●p(-3,5)4．用两点间的距离公式，求出点P到L的距离1．由PH⊥L，可知PH所在直线的斜率为2．求出PH的方程即4x+3y-3=0.3.由L和PH所在直线的方程3x-4y-5=0，4x+3y-3=0，解得H点的坐标为342511,2527H534251152527322PHQPyxol思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离?如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.xyox=x1P(x0,y0)-01PQyy-01PQxxyoy=y1p(x0,y0)xQ(x0,y1)Q(x1,y0)(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______.(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______.练一练5343直线的方程l直线的斜率llPQ直线的方程l直线的方程PQ交点PQ点之间的距离（到的距离）PQ,Pl点的坐标P直线的斜率PQ点的坐标P点的坐标Q两点间距离公式下面设A≠0,B≠0,我们进一步探求点到直线的距离公式:思路1：垂线段法yxlO0,)y0P(xQ若直线不平行于坐标轴(即A≠0且B≠0),由0AxByC可得它的斜率是,AB直线ＰＱ的方程是00(),ByyxxA00,BxAyBxAy即与0AxByC联立，解得20022,BxAByACxAB20022AyABxBCyAB2200002222y(,)BxAByACAABxBCQABAB22220000002222||()()BxAByACAyABxBCPQxyABAB22220000222222()()()()AAxByCBAxByCABAB0022AxByCABQyxlO0,)y0P(x10(,)Nxy01(,)Mxy一般地，对于直线0:0(0,0),),lAxByCABy0外一点P(x,,,,PPQlQPyx过点作垂足为过点分别作轴轴的平行线l0110交直线于点Ｍ（ｘ，ｙ）,Ｎ（ｘ，ｙ）．思路2：三角形的面积公式·yxlQO0,)y0P(x01(,)Mxy10(,)Nxy0010,0,ByCAxByC1由Ax001,.ByCAxCyAB1得x0010.AxByCxxA所以PN0010AxByCPMyyBPQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知002222.PMPNPMPNAxByCPQMNABPMPNOyxlPQM过P作PM⊥x轴交l于M，构造直角△PQMP(x0,y0),l:Ax+By+C=0,AB≠0,倾斜角设为锐角1与倾斜角有何关系？11=如果l的倾斜角是钝角呢？OyxlPQM11=-怎样用|PM|表示|PQ|？|PQ|=|PMcos1|cos1=|cos||PQ|=|PMcos|思路3：解直角三角形法OyxlPQ1M已知P(x0,y0),设M(x1,y1)∵PM∥Oy，∴x1=x0将M(x0,y1)代入l的方程得BCAxy0110yyPMBCAxy00BCByAx002222211111coscosBABBAtg又2200cosBACByAxPMPQ由此我们得到，:0lAxByC的距离0022.AxByCdAB点到直线的距离公式00(,)Pxy点到直线直线方程为一般式例1.(1)求原点到直线l1:5x-12y-9=0的距离；(2)求点P(-1,2)到直线l2:2x+y-10=0的距离.分析：根据点到直线的距离公式求解．求下列点到直线的距离：(1)(0,0),3x-2y+4=0(2)(2,-3),x=y答案:(1)(2)52241313【变式练习】例2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.证明：在△ABC中，AB=AC，P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系如图.yADFBOCEPx设A(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a0,b0),则直线AB方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取P(x0,0),使x0a,则点P到直线AB，AC的距离分别为002222|0|||,bxabbxabPDabab-++==++002222|0|||.bxabbxabPEabab+--==++则点C到直线AB的距离为2222||2||,abababCFabab+==++222||||||.abPDPECFab-==+则四、课堂小结:点到直线的距离2200BACByAxd1.此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的；3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立；4.如果A=0或B=0，一般不用此公式；5.用此公式时直线要先化成一般式。1、学习了点到直线距离的定义及其公式。3、在公式的推导过程中，领悟特殊到一般、转化与化归、分类与整合以及数形结合等思想。2、学习了点到直线距离公式的多种推导方法。垂线段法解直角三角形法等面积法