1.2余弦定理公开课

正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin::复习回顾1.2余弦定理分析理解如图,根据向量的数量积,可以得到2aBCBCABCabc()()ACABACAB222ACACABAB222||||cosAACACABAB222cosbbcAc2222cosabcbcA即余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222cosbcacaB同理可证2222coscababC2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。延伸变形222cos2bcaAbc222cos2acbBbc222cos2abcCab中，在ABC推论:为直角；，则若Ccba222为锐角；，则若Ccba222为钝角；，则若Ccba222一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知、在例aCBAcb,30,32,3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb330cos323232322CABabc60,Bcb90180CBA________,60,1,31aAcb则、若_____AC,43cos1BC2ABABC2则，，中，、在C72变式：CBAbac例2、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A45B180180604575CAB631二、已知三角函数的三边解三角形22)13(622)13()6(2cos222222acbcaB__________,2,1,3.1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60.________,.2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：CBAbac由推论我们能判断三角形的角的情况吗?bcacbA2cos222推论：CBAbac思考2：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb例3、在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定那呢?222cba三、判断三角形的形状三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（）Ａ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定例4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?分析经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知OP=12km,OQ=13.5km,∠POQ=80O,求PQ的长.ABODCQP80O思考：已知两边及一边的对角时，想一想如何来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.解经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知222cosPQOPOQOPOQPOQ221213.521213.5cos8016.4(km)答3时后两人相距约16.4km.例5：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数的图形.试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小(长度精确到0.1,角度精确到1O)?2,3,5,...ABCD11123解.在△BCD中,BC=1,CD=1,∠BCD=135O.因为2222cosBDBCCDBCCDBCD2211211cos13522所以1.8BD22,3BDAD在△ABD中,AB=1,因为222cos2ABADBDDABABAD221(3)(22)2130.1691所以80DAB1.在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.解：∵cosA＝b2＋c2－a22bc∴A≈44°∵cosC＝a2＋b2－c22ab∴C≈36°∴B＝180°－(A＋C)≈100°.＝0.725，＝0.8071，2.ΔABC中，a=2，b=2，C=15°，解此三角形.2∵Cabbaccos2222解：∴c＝26∴acbcaB2cos222∴B＝135°∴A＝180°－(B＋C)＝30°3＝8－422＝－小结:222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：推论: