函数的极值及其求法

第十节函数的极值与最值一、函数的极值及其求法oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x定义使得有则称为的一个极大值点(或极小值点)极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点(称为可疑极值点).称为的一个极大值(或极小值)注意函数极值的求法定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:(),.fx可导函数的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x)(xf0x0x.0)(0xf设在点处具有导数,且在处取得极值,则定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)设)(xf在点0x处连续,),(00xxx,0)(xf),(00xxx,0)(xf)(xf0x(1)若时,而时,则在点处取得极大值;(2)若),(00xxx时,,0)(xf而),(00xxx时,,0)(xf则)(xf在点0x处取得极小值;),(0xUx)(xf)(xf0x(3)若时,的符号相同,则在点处无极值.xyoxyo0x0x求极值的步骤:(1)(),();fxfx求导数并求出的全部驻点与不可导点(2)(),;fx根据在每个驻点或不可导点的左右邻近的正负号判断是否为极值点(3).求极值(不是极值点情形)例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx593)(23xxxxfMm图形如下例2解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xfM的极值.解32)(xxf3132)1(xx35235xx得驻点;521x不可导点02xx)(xf)(xf05200233255())0,(),0(52),(52是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为例3求函数不存在定理3(第二充分条件)证)1(0000)(lim)()(lim)(00xxxfxxxfxfxfxxxx,00)(,0,000xxxfxx时使当故存在;0)(),(00xfxxx时，当所以，函数)(xf在0x处取得极大值．同理可证(2).;0)(),(00xfxxx时，当二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.设函数f(x)在点x0处具有例4解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如下Mm注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf的极值.解:,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用极值的第一充分条件来判别.1xy1例5.求函数,0)(0)(xfn则1)当为偶数时,n2)当为奇数时,n为极值点,且不是极值点,))(()()(000xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)())((0nxxo证定理4设f(x)在点x0处具有n阶导数，且则在点取极大值;则在点取极小值.点为拐点。!)()()()(lim0)(000nxfxxxfxfnnxx时，有使当),(,00xUx故1)当为偶数时,n由极限的保号性,知又得故在点取极大值。则在点取极小值.同理可证，2)当为奇数时,n可证在点邻近两侧异号,故在点不取极值。))(()()(000xxxfxfxf200)()(!)2()(nnxxnxf))((20nxxo故!)2()()()(lim0)(200nxfxxxfnnxx当为奇数时,n可证在点邻近两侧异号,故点为拐点。设,cossin)(xaxxxf其中a为常数.证明:2a时,f(0)为f(x)的极小值;2a时,f(0)为f(x)的极大值.证xaxxxxfsincossin)(,0)0(f,cossin)1(xxxaxxxxaxfsincoscos)1()(,sincos)2(xxxa,02)0(af2)ai时,f(0)为f(x)的极小值;2)aii时,,02)0(aff(0)为f(x)的极大值;,2)0(af2)aiii时,,sin)(xxxf,0)0(f例6,cossin)(xxxxf,0)0(f,sincoscos)()4(xxxxxf,02)0()4(ff(0)为f(x)的极大值.函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周例7.2)1(4)(2的图形作函数xxxf解非奇非偶函数,且无对称性.,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf,0)(xf令,2x得驻点,0)(xf令.3x得特殊点]2)1(4[lim)(lim2xxxfxx,2;2y得水平渐近线定义域（-∞，+∞）\{0},]2)1(4[lim)(lim200xxxfxx,.0x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf00)(xf20不存在拐点极值点间断点3)926,3(:补充点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图xyo232111236ABC小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点是可疑极值点.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)思考与练习1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点a处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.)(xf在0x的某邻域内连续,且,0)0(f,2cos1)(lim0xxfx则在点0x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.2.设)(xfy是方程042yyy的一个解,若,0)(0xf且,0)(0xf则)(xf在)(0x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:0)(4)(00xfxfA3.设4.设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f2(a)是否是f2(x)的极值.证则),()(afxf时，有使当),(,0aUx),()(22afxf得f2(a)是f2(x)的极小值;不妨设f(a)是f(x)的极小值,,0)()时当afi有由f(x)在x=a处连续，得0)()(limafxfax时，有使当),(,011aUx0)(xf},,min{1令时，则当),(aUx,0)()(xfaf)()(22afxff2(a)是f2(x)的极大值.同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况.,0)()时当afii由极限的保号性,知由得试问为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,还是极小.解:)(xf由题意应有)32(f2a又)(xf)(xf取得极大值为3)(32f备用题)32(3cos)32cos(a,3sin3sin2xx求出该极值,并指出它是极大一、填空题：1、极值反映的是函数的________性质.2、若函数)(xfy在0xx可导，则它在点0x处到得极值的必要条件中为___________.3、函数32)1(2xy的极值点为________；31)1(23xy的极值为__________.4、已知函数0,10,)(3xxxxxfx当_______x时，为极________y小值；当时________x，为极________y大值.练习题二、求下列函数的极值：1、xeyxcos；2、xxy1；3、方程02yeyx所确定的函数)(xfy；4、0,00,21xxeyx.三、证明题：1、如果dcxbxaxy23满足条032acb，则函数无极值.2、设)(xf是有连续的二阶导数的偶函数0)(xf，则0x为)(xf的极值点.一、1、局部；2、0)(0xf；3、(1,2),无；4、1,0,)1(,13eee;二、1、极大值keky2422)24(,极小值),2,1,0(22))12(4()12(4kekyk；2、极大值eeey1)(；3、极小值1)0(y；4、极小值0)0(y.练习题答案