函数的极大值与极小值(使用)

函数的极大值与极小值知识回顾：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间如果f′(x)0,如果f′(x)0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.根据导数确定函数的单调性的步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)0,得函数单增区间;解不等式f′(x)0,得函数单减区间.yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x使函数取得极值的点x0称为极值点1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。注意2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示。1x4x41()()fxfx观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0如何判断f(x0)是极大值或是极小值？yxO在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。aby=f(x)x1f(x1)=0x2f(x2)=0x3f(x3)=0x4f(x5)=0x5f(x)0yxOx1aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)01、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极小值；二、判断函数极值的方法x2•导数为0的点不一定是极值点；•极值点处的导数不一定是存在的；•若极值点处的导数存在，则一定为0左正右负为极大，右正左负为极小abxy)(xfy?=Oabxy)(xfy?=O练习1.函数的定义域为开区间)(xf导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。A.1B.2C.3D.4)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfAf(x)0f(x)0f(x)=0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别例1求函数的极值。314xx31y3=x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′y解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值=17/3当x=2时，y极小值=－5++0-0极大值17/3极小值-5求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；巩固练习：求函数的极值33fxxx=x'fxfx,11,11,20011单调递增单调递减单调递减当时,有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf∴当时,有极小值，并且极小值为2.2.1=x1x=x解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：33fxxx='0fx'233fxx='2330fxx==1x=1.x='0fx11x1x1x',fxfx∴a=2.例4:函数在处具有极值，求a的值分析：f(x)在处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，可求出a的值.解：∵，∴函数在时有极值10，则a，b的值为223)(abxaxxxf=1=x，注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验巩固练习已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．例2【思路点拨】先求导数f′(x)，再令f′(x)＝0得到关于x的一元二次方程，其两根为x1＝1与x2＝－23，最后由一元二次方程根与系数的关系求a，b的值．【解】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0.由题设，知x1＝1与x2＝－23为f′(x)＝0的解．∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)．∴a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－23)－23(－23，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，递减区间为(－23，1)．当x＝－23时，f(x)有极大值，f(－23)＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－12.例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【思路点拨】(1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解.【解】(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．