第四章 地球椭球及其数学

第四章地球椭球及其数学投影变换的基本理论徐卓揆公路工程学院•地球椭球的数学基础•测量数据计算的数学知识•地图投影的数学理论（地图学）§4.1-旋转椭球面的参数表示及数学性质1、椭球方程：表面上平行于赤道面的纬圈均为圆1222222bZaYaX起始子午面0ZXYWENSabQQ′平行圈赤道2、经线和纬线的曲线方程012222YbZaXM0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：22YXr经度为L的经线方程：LXYbZaYaXtan1222222OXYZM1M0MLrSyx在XOZ坐标面上的起始经线方程：1）、经线方程：§4.1-旋转椭球面的参数表示及数学性质2）、纬圈方程：0222222Z1ZbZaYaXBZYXbZaYaXsinZ1222222222或：§4.1-旋转椭球面的参数表示及数学性质OXYZM1M0MLLrRSyx3、地球椭球的几何、物理元素扁率：aba第一偏心率：aEabae222第二偏心率：bEbbae222'长半轴：短半轴：b1）、几何元素几个关系式：BeBtbac2222cos,tan,BeVBeW2222cos1sin12222222222111112eeeeeeeeea§4.1-旋转椭球面的参数表示及数学性质1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：3.2981m6378245a§4.1-旋转椭球面的参数表示及数学性质我国1980年大地坐标系采用第16届IAG—IUGG椭球，其椭球元素为：257.2981/10292115.710108263/103.986005GMm63781405822314可求得扁率：sradJsma2）、地球椭球的几何、物理元素§4.1-旋转椭球面的参数表示及数学性质§4.2-常用坐标系及关系1、大地坐标系：以大地经度L、大地纬度B和大地高为点的坐标。起始子午面LBPH1）、基准：椭球面与法线2）、大地高H：地面点沿法线到椭球面的距离。3）、大地高H与正常高H正常及正高H正的关系：注：水准测量的一般为正常高或正高，GPS测量的为大地高一、常用坐标系2、天文坐标系：以天文经度λ和天文纬度φ为点的坐标天文起始子午面Pλφ以铅垂线和水准面为依据天文子午面：过地面点P的铅垂线和地球旋转轴组成的面。3、空间直角坐标系：以地心（参心）为原点，以平均自转轴为Z轴，指向平均北极，X轴指向平均起始子午面与平均赤道面的交点，Y轴与XOZ平面垂直而建立的坐标系。起始子午面PYzxxyzo赤道当原点在总地球椭球质心时称地心空间直角坐标系。当原点在参考椭球质心时称参心空间直角坐标系。§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系在过P点的子午面上，以P点的子午椭圆中心为原点，长轴为X轴，短轴为Y轴而建立的平面直角坐标系。4、子午面直角坐标系XYOPxy设P点的大地经度为L，则P点的坐标表示为(L，x，y).5、地心纬度坐标系XYφOM地心纬度：椭球面上一点到地心的连线与赤道面之间的夹角φ。设M点的经度为L，则其地心纬度坐标为（L，φ，ρ）若P点的大地高为H，则其坐标为（L，φ，ρ，H）。§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系归化纬度：从子午椭圆上M点作X轴的垂线，与以长半轴为半径的圆相交于M’,M’与椭圆中心O的连线与X轴的夹角。6、地心归化纬度坐标系XuaYOM´Mb设M点的经度为L，则其坐标为（L，u）,若M点的大地高为H，则其坐标为（L，u，H）。ubYuaXsincos在XOY子午面内，有:§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系7、站心地平坐标系起始子午面BNWSEnPoXZyMX(北)Z(天顶)Y(东)PZMSA1).大地站心地平坐标系:以测站P为原点，以P点法线为Z轴，天顶方向为正，以子午线切线方向为X轴,向北为正，Y轴与XPZ平面垂直，向东为正.Z为天顶距,A为大地方位角,S为M点到站心点的斜距.M点直角坐标(x,y,z),极坐标为(S,A,Z)222tan,cossinsincossinzyxSXYASZconZZSzAZSyAZSx§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系2).天文站心地平坐标系8.大地极坐标系APNMSMN为过M点的子午线，S为大地线的长度，A为大地线S的大地方位角，则P点的大地极坐标为（S，A）。大地极坐标（S，A）可与大地坐标（L，B）相互换算。§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系二、坐标系间的关系1、子午平面坐标系与大地坐标系的关系切线MT的斜率的导数式：BBdXdYctg90tan0由椭圆方程求导得：12222bYaXYXeYaXbdXdY2221代入第一式得：BeXYtan122XYnB90°+BOTMXy1§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系M点子午平面坐标(L，x，y)=大地坐标（L，B）BeBeaYBeBaX22222sin1sin1sin1cos引入辅助符号：WaNBeWsin122则有：sin1cos2BeNYBNX代入椭圆方程，化简后得：2将XYnB90°+BOTMXyabQ另外,如图可知：BQMYsin21eNQMBnMXcosNnM2NenQ§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系ubyuaxsincos2、子午平面坐标系与归化纬度坐标关系由椭圆的参数方程可知：3、空间直角坐标同子午面直角坐标的关系yZLxYLxXsincosuayOM´MbxM″§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZ(y)MOXYZLM″4、空间直角坐标同归化纬度坐标的关系ubyMMZLuaLxLMOYLuaLxLMOXsinsincossinsincoscoscoscosuayOM´MbxM″XYZM0XYZLM″§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系ubyuaxsincosubyZLxYLxXsinsincos5、空间直角坐标与大地坐标的关系BeNBQMZLBNLMOYLBNLMOXBNBnMMOsin)1(sinsincossincoscoscoscoscos2abVWabeWaN2221又因为：所以又有：1）、M在椭球面上VBbZLWBaYLWBaXsinsincoscoscos§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZM0XYZLnBM′Q2）、M不在椭球面上BHeNBMPQMBQPZLBHNLPOYLBHNLPOXBHNBMPnMBnPPOsin])1([sin)(sinsincos)(sincoscos)(coscoscoscos2§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZM0XYZLnBP′QHP3）、轴空间直角坐标推算大地坐标22221sinsinsintanarctaneNBZQMQPHYXBNeZPOBQnPPPOOnPPPOPPPPPOPPBXYL其中B要采用迭代法计算,直至两次之差小于允许误差为止.§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZM0XYZLnBP′QHP(X,Y)ZM0ZnP′HPBP″BQBeYXBceYXZB2222222tan'1tantan1)、大地纬度B与归化纬度u的关系sin1cos2BeNyBNxuayOM´MbxM″ynBOMXyx由子午平面坐标系与大地坐标系的关系有:由子午平面坐标系与归化纬度坐标关系有:ubyuaxsincos6、大地纬度B，归化纬度u，地心纬度φ之间的关系WBaBNaxWBeWeaBeabWBeabBeNbycoscoscossin11sin1sin1sin1sin22222由上可得:所以大地纬度B与归化纬度u的关系式:Betan1tan2211eba§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系2)、大地纬度B与地心纬度φ的关系sin1cos2BeNyBNxynBOMXyxφBeBNBeNxytan1cossin1tan22tan1tan11tantan1tan222eeBBetan1tan1tan22eBe3)、归化纬度u与地心纬度φ的关系由子午平面坐标可得:所以:§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系大地纬度B，归化纬度u，地心纬度φ之间的关系公式汇总:4)、大地纬度B，归化纬度u，地心纬度φ之间的大小关系：Buφ三者之间的差异很小。§4.2-椭球面上常用坐标系及其相互关系§4.3-椭球面上的几种曲率半径椭球面上的法截面与法截线法截面：过椭球面任意点的法线的平面。法截线：法截面与椭球面的交线。（1）、过一点有无数个法截线（2）、过一点的不同方向的法截线的曲率半径不同。卯酉圈：过某点的法线且与该点的子午面垂直的法截面与椭球的交线。子午圈与卯酉圈是两条相互垂直的法截线。一、子午圈曲率半径dS是子午圈上的一段微分弧长，M为子午圈上K点处的曲率半径，由曲率半径的定义有：如图由上两式可得根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有：因而§4.3-椭球面上的几种曲率半径目的：M=f(B)又BeW22sin1则进而可得：而因而有即那么32223223)sin1()1()1(sin1)1(sinsin1BeeaWeaBeWBaBdBdxM§4.3-椭球面上的几种曲率半径WaNbacabVWeVWVabeVW,,,1,122222BeNVNM222cos13223)cos1(BecVcM332232232)1(VcbVaWVaWVaWWeaM又因为则即或§4.3-椭球面上的几种曲率半径PnNBPnOPrBNrcoscosPT是平行圈和卯酉圈的公切线。麦尼尔定理：通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，另一条为斜截弧，且在该点上两截弧有公共切线，则斜截弧在该点的曲率半径为法截弧在该点的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有：BWaxrcos比较以上两式可知卯酉曲率半徑为：WaN二、卯酉圈曲率半径根据以上定理有：可知，N为P点处卯酉曲率半徑。其長度等於椭球面到短轴的距离Pn,由此可见，卯酉圈曲率部心位于椭球的旋转轴上．§4.3-椭球面上的几种曲率半径BeW22sin1VceVecWaN2211BecN22cos1又因为BeaWaN22sin1)(1222bacVcaVaabVabeVW则或或§4.3-椭球面上的几种曲率半径三、主曲率半径的计算：子午圈曲率半径M与卯酉圈曲率半径N23222322232)sin1)(1()sin1()1()1(BeeaBeeaWeaM用级数展开，取至8次项有：1、子午圈曲率半径M其中将相应的椭球参数代入便可求得各系数。§4.3-椭球面上的几种曲率半径212222)sin1(sin1BeaBeaWaN2、卯酉圈曲率半径N用级数展开，取至8次项有：其中将相应的椭球参数代入便可求得各系数。§4.3-椭球面上的几种曲率半径23223223)cos1()cos1(BecBecVcM212222)cos1(cos1BecBecVcN或用级数展开，取到8次项有其中§4.3-椭球面上的几种曲率半径四、任意法截弧的曲率半径根据微分几何中的尤拉公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率NAMARA22sincos1因此，任意方向的曲率半径为：AMANMNRA22sincos半径的关系为：VcN3VcM将上式分