第四章 地球椭球数学投影(10-11节)

FundationofGeodesy1§4.10横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.10.1通用横轴墨卡托投影概念UTM(UniversalTransverseMercatorProjection)投影属于横轴等角割椭圆柱投影,它的投影条件是取第3个条件“中央经线投影长度比不等于1而是等于0.9996”，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为m0＝0.9996的高斯投影。FundationofGeodesy2FundationofGeodesy3基本公式如下：243224353225240.9996sincossincos(594)2240.9996coscos(1)cos(518)6120lNlxSBBNBBtlNlNylNBBtBtt22242441110.99961cos(1)cos(2)cos268mBlBtBl)31(cossin3sin223BBlBlFundationofGeodesy4UTM投影变形的特点：UTM投影的中央经线长度比为0.9996，这是为了使得Ｂ＝０°，ｌ＝３°处的最大变形值小于0.001而选择的数值。两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约±１８０ｋｍ(约±１°４０’)处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。UTM投影带的划分：UTM投影的分带是将全球划分为60个投影带，带号1，2，3，…，60连续编号，每带经差为６°，从经度180°Ｗ和17４°Ｗ之间为起始带(1带)，连续向东编号。FundationofGeodesy5直角坐标系的实用公式：4.10.2高斯投影簇的概念高斯投影簇是概括依经线分带的一簇横轴等角投影。1.中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的2.3.中央经线上的长度比。50000(10000000(50000((yyxxyyxx实实实实轴之东），南半球）轴之西），北半球）0()mfBFundationofGeodesy655331144220lalalaylalaaxFundationofGeodesy7高斯投影簇变形的特点：1.设q=0，则m０＝１，该投影即为高斯.克吕格投影。2.设q=0.0004，K=0，则m０＝0.9996，该投影即为通用横轴墨卡托投影。3.设q=0.000609，K=1，则，该投影即为双标准经线等角横椭圆柱投影。4.设q=0.000609，K=1.5，则，该投影在分界子午线与赤道交点处变形最大，达0.077%KBqm20cos1FundationofGeodesy8§4.11兰勃脱投影概述4.11.1兰勃脱投影基本概念兰勃脱(Lambert)投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一致，使圆锥面与椭球面一条纬线相切，将椭球面上的纬线投影到圆锥面上成为同心圆，经线投影圆锥面上成为从圆心发出的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线(一般为中央经线L０)，将圆锥面切开而展成平面，从而实现了兰勃脱切圆锥投影。FundationofGeodesy9FundationofGeodesy10FundationofGeodesy114.11.2兰勃脱投影坐标正、反算公式1兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立sincos0yx000cotBNlBf)(FundationofGeodesy12子午线方向长度比:纬线向长度比:正形投影条件:MdBdmBBNMdBdcosBNMdBdqcosdqdKqlnlnqKeBNBdlNdlBdlNdmLcoscoscosBNMdBdmcosFundationofGeodesy132、大地纬度差同等量纬度差的关系式已知即可求.12BB、BNMdBdqcosBBNMdBq0cosBeBeeBBqsin1sin1ln2sin1sin1ln21)(00BBfqqq3033202206121BdBqdBdBqdBdBdqq554433221BtBtBtBtBtq12qq、FundationofGeodesy14)tan24tan285(cos1201)tan65(tancos241)tan63tan21(cos61)31(tancos21)1(cos10402052002004024040202003402000260402001BBBtBBBtBBBtBBtBtFundationofGeodesy15采用级数的回代公式可得:5544332210'''''qtqtqtqtqtBBB)tantan185(cos1201')tan4056tan5(tancos241')tan277tan135tan1(cos61')341(tancos21')1(cos'040205502202002004402404002202002033402000222001BBBtBBBBtBBBBtBBtBtFundationofGeodesy163常数β及K的确定条件:0010dmdmmddq,BNMdBdmcoslnln)cosln(lnBNmdqddqBdNBNdqdmm1coscos11FundationofGeodesy17因为将上述两式代入微分方程得:则有:即可求得K、。MBNBMdqdBdBdrdqBNdcossin)cos(dqd0sinB00sin000cotqBKeBN00sin00cotqBeBNK00qqe（）qKeFundationofGeodesy18根据兰勃脱割圆锥投影特殊条件：两条标准纬线(B１，Ｂ２)的投影不变形，也就是说，这两条标准纬线投影前后的长度相等，即长度比ｍ１＝ｍ２＝１。解方程得212211coscosqqKeBNKeBN221112coscosln1BNBNqq212211coscosqqeBNeBNKcosNBllFundationofGeodesy194兰勃脱投影坐标的正反算公式1.兰勃脱投影坐标的正算(B,l)l=L-L0,求x,y兰勃脱切圆锥投影：sincos0)(00yxelqq0sinB00sin000cotqBKeBN00sin00cotqBeBNKFundationofGeodesy20兰勃脱割圆锥投影：221112coscosln1BNBNqq212211coscosqqeBNeBNKBeBeeBBqsin1sin1ln2sin1sin1ln21FundationofGeodesy21兰勃脱投影坐标的反算公式22000)(,,arctanyxlLLlxy00ln1qqq,'''''5544332210qtqtqtqtqtBBBFundationofGeodesy22方向改化及距离改化的简化公式：4.11.3兰勃脱投影长度比、投影带划分及应用)2)((62112202.1xxyyR)(622212120xxxxRSSSdBNmcos23002032030020220202tan)41(6tan21xyNBVxNBVxNVmFundationofGeodesy23兰勃脱投影变形的特点:在标准纬线Ｂ０处，长度比为1，没有变形。当离开标准纬线（Ｂ０）无论是向南还是向北，｜ΔＢ｜增加，｜ｘ｜数值增大，因而长度比迅速增大，长度变形(m-1)也迅速增大。因此，为限制长度变形，必须限制南北域的投影宽度，为此必须按纬度分带投影。FundationofGeodesy24FundationofGeodesy25兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影，它的长度变形(m-1)与经度无关，但随纬差ΔＢ，即纵坐标x的增大而迅速增大，为限制长度变形，采用按纬度的分带投影，因此，这种投影适宜南北狭窄，东西延伸的国家和地区。这些国家根据本国实际情况，采用相应的分带方法和统一的坐标系统。但与高斯投影相比较，这种投影子午线收敛角有时过大，精密的方向改化和距离改化公式也较高斯投影要复杂，故目前国际上还是建议采用高斯投影。FundationofGeodesy26本章内容总结1、椭球面上的基本计算问题2、大地线的概念与性质3、大地测量主题结算4、天文大地网元素归算方法5、高斯平面直角坐标的建立与计算问题6、UTM投影与高斯投影簇的概念7、兰勃特投影方法介绍