大学物理第22章量子力学基础知识

第五篇近代物理人们很早就认识到构成世界的物质有两种：实物Matter和场Field。前者的例子有电子质子，后者的例子有电磁场。电磁场表现出了粒子性的一面（光子），并得到光电效应和康普顿散射的证实。那么对于实物粒子，我们很容易想到是不是以前过分强调粒子性的一面而忽略了实物波动性的一面呢？第二十二章量子力学基础知识第五篇近代物理一切实物粒子也具有波粒二象性：既是粒子也是波——物质波或德布罗意波。物质波的波长、频率与能量、动量满足下面的德布罗意关系：一、DeBroglie物质波假设§22.1波粒二象性wave-particledualityph/hE/两式中左边反映波动性，右边反映粒子性。刚好与爱因斯坦的光量子假设相反。公式中的E和p并未指定是牛顿力学还是相对论力学中的能量和动量，所以需要我们自己判断。两个式子中，我们更加关注德布罗意波长和粒子动量关系的公式。LouisdeBroglie1892～19871924年，法国物理学家DeBroglie向巴黎大学提交的一篇博士论文中，提出了物质波的假设。第五篇近代物理氢原子中电子作圆周运动，它所对应的物质波形成驻波时才是稳定的。因此，圆周长应等于波长的整数倍。DeBroglie波与Bohr的量子化条件电子波动反映到原子中，为驻波。当受到微扰时，波保持稳定，如同金、银等金属化学性质一般保持稳定一样。2,,nhrnmv2nnhrmv,1,2,3,2nnnhLmvrn第五篇近代物理DeBroglie波长公式当质量为m的粒子运动速度vc时，可以用牛顿力学处理，物质波波长为但如果速度为v~c，必须使用相对论公式：我们常常碰到的是带电(电量q)粒子，从静止开始受到加速电压U的作用mvhmqUhmEhk22相对论phcEEEpkk202相对论22202022UqqUcmhcEEEhckk具体到考虑加速电压U为多少可以忽略相对论效应？qUcm202如果是电子U小于百万伏特就可以MeVcme51.02第五篇近代物理例1：电子静止质量m0=9.110-31Kg，以v=6.0106m/s速率运动。质量m=50Kg的人，以v=15m/s的速度运动，试比较电子与人的DeBroglie波长。解：电子和人的DeBroglie波长分别为：电子的DeBroglie波长与X射线接近，人的DeBroglie波长仪器根本观测不到。可见，宏观物体的波动性根本不必考虑，只考虑其粒子性。34103166.63101.2109.110610eehmmv34376.63108.8105015pphmmv第五篇近代物理例2：两束电子动能分别为100eV和200eV，求电子的DeBroglie波长。解：电子的DeBroglie波长分别为：电子的DeBroglie波长与X射线接近，其波动性不能忽略。34101311916.63101.210229.1101001.610ekhmmE34122311926.63108.6710229.1102001.610ekhmmE第五篇近代物理①Davisson-Germer的电子衍射实验1927年美国物理学家C.J.Davisson与G.P.Germer用电子衍射实验证实了电子具有波动性。实验装置示意图如下：二、物质波的实验验证要想从实验上观察到物质波，必须波长孔隙线度可比拟从而产生衍射现象。由上面的计算可知，任何宏观物体的物质波实际上都无法通过衍射观察，但是能量为～102eV的电子其德布罗意波长与X射线同量级，X射线能观察到衍射，电子打在晶体上也应当能观察到电子的衍射。真空电子枪掠射角INi单晶U第五篇近代物理此实验验证了电子具有波动性。实验装置如图示。灯丝K发出的电子束通过狭缝D后，略入射到镍单晶体上。假如电子具有波动性，应满足布喇格公式在散射角不变时，测量在不同加速电压下经晶体散射后的电子束（电流）的强度。实验发现电子束（电流）的强度具有明显的选择性。如：仅当时，电流才有极大值。50V,50U5054VU,3,2,1225.1sin2kUnmkd第五篇近代物理②GPThomson的电子衍射实验1927年英国物理学家GPThomson（JJThomson之子）也独立地完成了电子多晶体衍射实验。灯丝K发出的电子束经加速后通过狭缝（～keV），垂直投射到多晶薄片上，穿过薄片后在底片上形成衍射图样。CsUKGscreenpoly-crystalfilmultra-highvoltagegridcathode由此L.deBroglie获1929年Nobel物理奖G.P.Thomson与C.J.Davisson共获1937年Nobel物理学奖。后来实验又验证了：质子、中子和原子、分子等实物粒子都具有波动性，并都满足德布罗意关系。第五篇近代物理三、物质波的统计解释德布罗意波理论得到实验支持后，怎么解释实物粒子的波动性质，或者说如何看待波粒二象性，成为当时物理学界的一个重大争论问题。物质波对应什么物理量在波动？物质波是电磁波还是机械波？物质波满足什么波动方程？经过物理学家之间的反复论战，大部分人都同意波恩的观点：物质波是一种概率波，而不是经典的波动。波粒二象性是单个粒子所具有的固有属性。下面我们来讨论一下电子的双缝干涉实验。1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非常精确的弱电子流衍射实验。电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样第五篇近代物理单电子双缝衍射实验：7个电子100个电子30002000070000说明衍射图样不是电子相互作用的结果,它来源于单个电子具有的波动性。每个电子到达屏上各点有一定概率，衍射图样是一个电子出现概率的统计结果。第五篇近代物理粒子观点电子密处，概率大电子疏处，概率小物质波的统计意义：某处物质波的强度与粒子在该处邻近出现的概率成正比。怎样理解微观粒子的二象性：1粒子性•指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。•但不是经典的粒子！因为微观粒子没有确定的轨道，应抛弃“轨道”的概念！2波动性•指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、“偏振”等现象。•但不是经典的波！因为它没有某种实际物理量（如质点的位移、电场、磁场等）的波动。第五篇近代物理少女？老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一体中，却不能同时表现出来。第五篇近代物理§22.2波函数波函数描述具有波粒二象性的微观物体状态的函数称为波函数。如果知道了某微观物体的波函数后，原则上确定该物体的全部物理性质。波函数一般是时间和空间坐标的复数函数。一、波函数随着旧量子论的出现，经典物理的概念越来越难以描述微观现象，矛盾随处可见，物理学家们都很困惑。1925~1928年，在物质波理论成功的激励下，Heisenberg、Born、Schrödinger、Dirac等人终于建立了一套完全革命性的理论量子力学。第五篇近代物理在量子力学中用复数表达式：沿X方向匀速直线运动的自由粒子，动量、能量恒定不变。按照DeBroglie关系，此物质波的波长和频率也保持恒定不变，即为平面单色波，其波函数写作：在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间的二元函数。一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程：,cos2cos2txxyxtAAtT2,xityxtAe取实部cossinieiEulerformula2,xitxtAe第五篇近代物理应用DeBroglie关系，上式可改写成为：,iEtpxxtAe进而，沿方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为：r,iEtprrtAe自由粒子的能量和动量为常量，其德布罗意波是平面单色波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观物体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。第五篇近代物理空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（即概率密度）与波函数的模的平方成正比，并取比例系数为1，即：德布罗意波又可以被称概率波probabilitywave二、波函数的统计解释设描述粒子运动状态的波函数为，则：,rt2,,,,Prtrtrtrt的共轭复数,rt,rt是1926年提出了对波函数的统计解释1954年获诺贝尔物理奖。第五篇近代物理因概率密度在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子，即在全部空间V中粒子出现的概率为1。此条件称为波函数的归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。2,,Prtrt故在矢端的体积元内发现粒子的概率为：rdVdxdydz2,,PrtdxdydzrtdV2,1rtdV第五篇近代物理波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定单值；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；第五篇近代物理德布罗意波（物质波）经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则各处的能流密度增大C2倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。2.物质波与经典波的异同第五篇近代物理例1：已知粒子的波函数为，c是待定实数。求发现粒子概率最大的位置和粒子出现在[0,1]上的概率。发现粒子的概率为：令导数为零能求吗？221)(xcex21)()()(*xexxx解：先定归一化系数c1)()(22*2cdxecdxxxx41c发现粒子概率最大处为0x发现粒子出现在[0,1]概率为%14.424214.01)(10102dxexx第五篇近代物理在经典力学中，宏观物体（粒子、质点）某一时刻的运动状态，我们可以确定的坐标和确定的动量来描述。那么，对具有波粒二象性的微观粒子，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？Heisenberg首先提出，由于微观粒子具有显著的波动性，不能同时确定坐标和动量。后来玻恩按照波函数的统计解释给出了严格的证明，使其表述更为准确，最后这一关系成为了量子力学的基本假设之一。§22.3不确定关系海森堡（W.K.Heisenberg，1901—1976）德国理论物理学家。他在1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，于1927年提出的不确定关系，奠定了量子力学的基础。因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖。第五篇近代物理由于使用波函数来描述微观粒子的状态，粒子的位置出现在空间各点的概率就可以用来计算，这样的结果告诉我们，粒子位置具有一个不确定度，同样粒子的动量分布也可以计算出一个不确定度这两个量：同一时刻的坐标和动量的不确定度是否有某种联系呢？我们首先定性分析一个例子：1.定性分析2||xpx位置不确定度波包可用若干不同波长平面波叠加得到，波长不是单一的，有一个波长分布范围