第三章一元一次方程应用题归类汇集(用)

一元一次方程应用题归类汇集（一）行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间S=vt（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？90(x+1)+140x=48090x+140x=600-480140x-90x=600-480例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。)140x=90x+480140x=90x+480+90一、过程未指明时需要分类讨论例1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲的速度为17.5千米/时,乙的速度为15千米/时,经过几小时两人相距32.5千米？解：设经过x小时，两人相距32.5千米（1）当两人在相遇前相距32.5千米时，由题得15x+17.5x+32.5=65，解得x=1（2）当两人交错而过后相距32.5千米时，由题得17.5x+15x-32.5=65，解得x=3答：经过1小时或3小时，两人相距32.5千米.二、位置不清时需要分类讨论例2、甲、乙两人环湖竞走比赛，环湖一周400米，乙每分钟走80米，甲的速度是乙的速度的，现甲、乙两人相距100米，多少分钟后两人首次相遇？41解：设x分钟后甲乙两人首次相遇（1）当乙在甲前时，由题得80x-20x=400-100，解得x=5（2）当甲在乙前时，由题得80x-20x=100，解得x=答：当乙在甲前时，5分钟后两人首次相遇；当甲在乙前时，分钟后两人首次相遇.3535（二）行船问题流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（V顺=V静+V水）逆水速度=船速-水速（V顺=V静-V水）例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？2(x+3)=3(x-3)解：设静水中的航速为xkm/hx=152×(15+3)=36（六）配套问题：例机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？3·16x＝2·10·(85-x)（三）工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1例一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？11x3(+)+=1151212例：某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？123030=+1xx+1解:设甲工人每天能做x个零件,原计划天完成,依题意,得30x（四）和差倍分问题（生产、做工等各类问题）和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。（四）和差倍分问题：要注意弄清题中的数量关系及运算顺序例1：一桶煤油连桶重8公斤，用去一半煤油后，连桶重4.5公斤，求桶中原有煤油多少公斤及桶重。分析：相等关系为用去的煤油的重量＋余下的油量及桶重＝原来连桶带油的重量解：设原有煤油x公斤依题意得85.421x解之得x=7则桶重为8－x=1答：原有煤油7公斤，桶重为1公斤。（五）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化.例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？2(64-x)=56+x（七）分配问题：例.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。8x+12=9x-18（十一）储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）例1.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）252.7=250+250·x分析：等量关系为本息和=本金+利息）例2：某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元，甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，一年后该公司共得利息6250元，问两种存款各为多少元？分析：相等关系为甲种存款的利息＋乙种存款的利息＝总利息解：设甲种存款为X万元，则乙种存款为（20－X）万元。依题意得1.4%·X+3.7%·(20-X)=0.625解之得X＝5则20－X=15答：甲种存款为5万元，乙种存款为15万元。（十二）增长率问题：1.某化肥厂去年生产化肥3200吨，今年计划生产3600吨，今年计划比去年增产%2.某加工厂有出米率为70%的稻谷加工大米，现在加工大米100公斤，设要这种大米x公斤，则列出的正确的方程是.(3600-3200)/3200=0.01251.25x·70%=100（十六）古典数学：1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。2.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？2x+(100-x)÷2=1002x+(88-x)·4=244（十三）数字问题：（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的数比较小的数大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；连续的奇数用2n+1或2n-1表示。例：一个两位数的十位上的数是个位上的数的两倍，若把两个数字对调，则新得到的两位数比原两位数小36，求原两位数。分析：题中数量关系如下表（若设原数的个位数字为X）十位数字个位数字本数原两位数2XX20X+X新两位数X2X10X+2X解：设原两位数的个位数字为X，则其十位数字为2X。依题意可得,(10X+2X)+36=20X+X解之得X＝4则原数的十位数字为2X＝8答：原两位数是84。可知相等关系为：原两位数＋36＝新两位数（八）年龄问题：例：甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是________.（九）比赛积分问题：例：某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。x+15-5=2(x-5)203(45-x)-x=1038（十）利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式：商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价商品利润率=商品利润/商品进价商品售价=商品标价×折扣率例.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？x·(1+40%)·80%-x=15（十四）形积变换问题注意一般要从变换前后图形的面积或体积关系两个方面寻找相等关系。例：一个长方形的长比宽多2㎝，若把它的长和宽分别增加3㎝，则面积增加45㎝2，求原长方形的长与宽。分析：若设原长方形的宽为x厘米，画图如下xX+2X+3(X+2)+3可知相等关系为：原长方形的面积＋45㎝2＝新长方形的面积解：设原长方形的宽为x厘米，则其长为（x+2)厘米。依题意得)3)(5(45)2(xxxx解之得x=5则原长方形的长为x+2=7答：原长方形的长为7㎝，宽为5㎝。有关溶液的浓度应用题是初中代数中列方程解应用题的一类基本题．解这类应用题，关键的问题是：抓住不变量(如稀释前溶质重量等于稀释后溶质重量)列方程．（十五）溶液的浓度问题（1）求溶质例5、现有浓度为20％的盐水300克和浓度为30％的盐水200克，需配制成浓度为60％的盐水，问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？解：设两种溶液全部混合后，还需加盐x克，注意混合前后溶质总量不变，依题意得方程：20％×300+30％×200+x=60％(300+200+x)．化简得2x=900．解这个方程得x=450．答：两种溶液全部混合后，还需加盐450克．（2）求溶剂例6、要把浓度为90％的酒精溶液500克，稀释成浓度为75％的酒精溶液，需加水多少克．解：设需加水x克，因为加水前后溶质数量不变，依题意得方程75％(x+500)=90％×500．化简得15x=1500．解这个方程得x=100．答：需加水100克．（3）求溶液例7、有若干克4％的盐水蒸发了一些水分后，变成10％的盐水，接着加进4％的盐水300克，混合后变为6.4％的盐水，问:最初有盐水多少克？解：设最初有盐水x克，注意混合后的含盐量，依题意得方程化简得1.44x=720．解这个方程得x=500．答：最初有盐水500克．).300%10%4%(4.6300%4%4xx（4）求浓度例8、甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是乙种硫酸溶液的1.5倍，甲种硫酸溶液5份与乙种硫酸溶液3份混合成的硫酸溶液含硫酸52.5％，求两种硫酸溶液含硫酸的百分数．解：设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为x，则甲种硫酸溶液含硫酸的百分数为1.5x，依题意得方程5×1.5x+3x=52.5％×8．化简得105x=42．解这个方程得x=0.4=40％，则1.5x=1.5×0.4=0.6=60％．答：甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60％，乙种硫酸溶液含硫酸的百分数是40％．