第三章 流体力学--流体力学基本方程

第三章流体力学基本方程本章研究：流体机械运动的基本力学规律及其在工程中的初步应用。为什么河道较窄的地方流速较大？思考1高楼顶层的水压为什么较低？思考2自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么不能爬上几米的岸边山坡？思考3水流速度V2是多少？思考4§3-1描述流体运动的方法描述流体的运动的困难§3-1描述流体运动的方法描述流体的运动的困难§3-1描述流体运动的方法1.拉格朗日法：一.拉格朗日法与欧拉法：§3-1描述流体运动的方法1.拉格朗日法：设某质点的轨迹为：x=x(a,b,c,t),y=y(a,b,c,t),z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)为质点的初始位置坐标。研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一.拉格朗日法与欧拉法：上式中用粗体字母表示矢量。§3-1描述流体运动的方法1.拉格朗日法：,,xyzuvwttt速度：加速度：222222,,xyzuxvywzaaatttttt研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一.拉格朗日法与欧拉法：u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t)研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参数的分布。2.欧拉法：§3-1描述流体运动的方法2.欧拉法：§3-1描述流体运动的方法§3-1描述流体运动的方法§3-1描述流体运动的方法10()limtotvva上式中用粗体字母表示矢量。由速度分布求加速度：2.欧拉法：§3-1描述流体运动的方法u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t)由速度分布求加速度：某质点t时刻位于（x,y,z），速度为：0(,,,)Vxyztt+Δt时刻位于(x+Δx,y+Δy,z+Δz,t+Δt),速度为：1(,,,)VxxyyzzttV0和V1的关系为：10VVVVVVtxyztxyz§3-1描述流体运动的方法(泰勒展开式)加速度：而：10txyztxyzVVVVVV注意到：000lim,lim,limtttxyzuwttt因此：uvwtxyzVVVVa10()limtotvva用粗体字母表示矢量，则：§3-1描述流体运动的方法§3-1描述流体运动的方法uvwtxyzVVVVa加速度的投影值：xuuuuauvwtxyzyvvvvauvwtxyzz§3-1描述流体运动的方法uvwtxyzVVVVa作业：P52-53，第19题、第21题。1.恒定流（定常流动）：2.非恒定流（非定常流动）：(,,,)(,,,)uuxyztppxyzt例如：或00uvwptttt，流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时间而变化，这样的流动就称为非恒定流。§3-1描述流体运动的方法二.恒定流与非恒定流：迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。§3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线：流线：§3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线：§3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线：流线和迹线的区别：§3-1描述流体运动的方法三.迹线和流线：流线微分方程：设流线微段为：该点的流体的速度为：因为：dddxyzuvwddddsxiyjzkVuivjwk故两矢量的坐标分量对应成比例：//dVs§3-1描述流体运动的方法1.流管：2.流束：3.元流：在流场中任一条封闭曲线（不是流线）上的每一点作流线，这些流线所围成的管状表面称为流管。流管内的一束运动流体称为流束。如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管,微流管内的流束称为元流。无数元流的总和称为总流。4.总流：§3-1描述流体运动的方法四.流管、流束、元流、总流：dnAQVA过流断面：与流线正交的横断面。平均流速：V=Q/A对曲面A,（体积）流量Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。§3-1描述流体运动的方法五.流量：1.均匀流与非均匀流：2.渐变流与急变流：在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流；否之，则为非均匀流。在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。§3-1描述流体运动的方法六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：§3-1描述流体运动的方法§3-1描述流体运动的方法若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的函数，这种流动称为一元流动。§3-1描述流体运动的方法七.一元流动、二元流动、三元流动：§3-1描述流体运动的方法动§3-1描述流体运动的方法求：t=0时，经过点A（-1，-1）的流线方程。ddxyxy1lnlnxyC例1：已知：u=x+t，v=-y+t,w=0解：t=0时，u=x，v=-y,w=0；代入流线微分方程：流线过点A（-1，-1）∴C=1cyx1xy§3-1描述流体运动的方法流线方程为：例2：已知某流场中流速分布为：u=-x，v=2y,w=5-z。求通过点(x,y,z)=(2,4,1)的流线方程。解：流线微分方程为：dddxyzuvwddd25xyzxyzd1d(2)d(5)225xyzxyz由上述两式分别积分，并整理得：§3-1描述流体运动的方法d1d(2)22dd(5)5xyxyxzxz①05221czcxcyx即流线为曲面和平面的交线。1cyxxczc2250将(x,y,z)=(2,4,1),代入①可确定c1和c212142cc，故通点(2,4,1)的流线方程为：0524zxyx§3-1描述流体运动的方法§3-2连续性方程1.系统与控制体：系统：控制体：包含确定不变的物质的集合。一个空间固定体称为控制体。一.积分形式的连续性方程：系统的流体质量为：()()()dtMtt质量守恒:系统的质量在任何时刻都相等。0d()()lim0dtMMttMttt2.连续性方程的推导：我们选取t时刻系统的体积τ和表面积A为控制体的体积和表面积。§3-2连续性方程()()()()()d()dtttMttMtttt()()()d()d()dttttttt()()[()()]d()d[()()]d()dtntAttttttttttvAt§3-2连续性方程0d()()lim0dtMMttMttt因此：对于任一物理量φ（如动量）：dddddnAvAtt§3-2连续性方程ddddddnAMdvAtttφ——单位体积的某物理量。即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。由于质量守恒，因此：dd0nAvAt此方程称为积分形式的连续性方程。dddddnAvAtt§3-2连续性方程定常流动：d0nAvA一元流动：ρ1V1A1=ρ2V2A2不可压缩流体的一元流动：V1A1=V2A2dd0nAvAt§3-2连续性方程二元流动，取控制体如图，长为dx,宽为dy。设控制体中心点的速度分别为u，v，密度为ρ。第一项为：dddxytt§3-2连续性方程dd0nAvAt二.微分形式的连续性方程：考虑第二项：左侧面流入质量：ddd22xuxuyxx右侧面流出质量：x方向净流出的质量为：()dduxyxdnAvA§3-2连续性方程单位时间内控制体表面的净流出量。dd++d22xuxuyxxdddd++dd2222xuxxuxuyuyxxxx同理,单位时间内y方向净流出的质量为：因此：()()dddddd0uvxyxyxytxy即：()()0uvtxy三元流动：()()()0uwtxyz§3-2连续性方程()ddvxyx对于定常流动（恒定流）：()()()0uwxyz当ρ=常数时（不可压缩流体）：0uwxyz()()()0uwtxyz§3-2连续性方程作业：P106，第6题、第8题。§3-3流体运动的微分方程x方向：max=Fxdddxxyza从理想流体中取出边长分别为dx、dy和dz的微元平行六面体。设微元体中心点的速度分量为u、v和w，其压强为p、密度为ρ。理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。ddddddddd22xpxpxfxyzpyzpyzxx一.理想流体的运动微分方程：1xxpafx同理：即：理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。不可压缩粘性流体的运动微分方程又称为纳维-斯托克斯方程，简称为N-S方程。ypρfayy1zpρfazz1§3-3流体运动的微分方程二.粘性流体的运动微分方程（N-S方程）简介：N-S方程：2222221xxpuuuafxxyz2222221yypvvvafyxyz2222221zzp在N-S方程中，若=0（理想流体），则N-S方程变为欧拉运动微分方程。§3-3流体运动的微分方程§3-5伯努利方程一.理想流体沿流线s的伯努利方程：1sspafssuuauts加速度：如果流动恒定，则：考查理想流体沿流线s的运动方程：1.方程的推导：2dddd2suuauss§3-5伯努利方程如果质量力仅为重力：2const.2pugz如果ρ为常数：积分得：1ddddppssddcosddszfgggzss2ddd0d2ddupgzsss1sspafs沿流线积分或：2const.2puzHgpZ和：位置水头(Z)、压强水头(p/)与流速水头(u²/2g)之和称为总水头（H）。22ug：这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利方程。§3-5伯努利方程物理意义和几何意义见第二章物理意义→单位重量的流体所具有的动能几何意义→流速水头2.方程的物理意义和几何意义：恒定元流伯努利方程的物理意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上机械能守恒。恒定元流伯努利方程的几何意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上总水头保持不变。由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。§3-5伯努利方程二.压强沿流线法向的变化：1rrpafr2ruar21uzppggzrrrrdcosdrzzfgggrr§3-5伯努利方程0rpgzr渐变流和急变流的概念（复习）