正弦定理和余弦定理典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC中，10c，45A，30C，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.解析：sinsinacAC，∴sin10sin45102sinsin30cAaC，∴180()105BAC，又sinsinbcBC，∴sin10sin1056220sin75205652sinsin304cBbC．总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA【变式2】在ABC中，已知075B，060C，5c，求a、A.【答案】00000180()180(7560)45ABC，根据正弦定理5sin45sin60ooa，∴563a.【变式3】在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，求::abc【答案】根据正弦定理sinsinsinabcABC，得::sin:sin:sin1:2:3abcABC.例2．在3,60,1ABCbBc中，，求：a和A，C．思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.解析：由正弦定理得：sinsinbcBC，∴sin1sin601sin23cBCb，（方法一）∵0180C，∴30C或150C，当150C时，210180BC，（舍去）；当30C时，90A，∴222abc．（方法二）∵bc，60B，∴CB，∴60C即C为锐角，∴30C，90A∴222abc．总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角C时，因为0sinsin(180)CC，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式1】在ABC中，6c，2a，45A，求b和,BC．【答案】∵sinsinacAC，∴sin6sin453sin22cACa，∵0180C，∴60C或120C∴当60C时，75B，sin6sin7531sinsin60cBbC；∴当120C时，15B，sin6sin1531sinsin60cBbC；所以，31,75,60bBC或31,15,120bBC．【变式2】在ABC中20a,210b,45A,求B和c；【答案】∵102sin45sinoaB，∴1sin2B∵0180B，∴30B或150B①当30B时，105C，)13(10c；②当150B时，195180AB（舍去）。【变式3】在ABC中，60B，14a,76b,求A.【答案】由正弦定理，得226760sin14sinsin0bBaA.∵ab,∴AB，即060A∴45A类型二：余弦定理的应用：例3．已知ABC中，3AB、37BC、4AC，求ABC中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：∵三边中37BC最大，∴BC其所对角A最大，根据余弦定理：22222234(37)1cos22342ABACBCAABAC，∵0180A，∴120A故ABC中的最大角是120A.总结升华：1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知ABC中3a,5b,7c,求角C.【答案】根据余弦定理：2222225371cos22352abcCab，∵0180C，∴120oC【变式2】在ABC中，角,,ABC所对的三边长分别为,,abc，若::abc6:2:31（），求ABC的各角的大小．【答案】设6ak，2bk，31ck，0k根据余弦定理得：263142cos22316B，∵0180B，∴45B；同理可得60A；∴18075CAB【变式3】在ABC中，若222abcbc，求角A.【答案】∵222bcabc，∴2221cos22bcaAbc∵0180A，∴120A类型三：正、余弦定理的综合应用例4．在ABC中，已知23a，62c，045B，求b及A.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：⑴由余弦定理得：2222cosbacacB=220(23)(62)223(62)cos45=212(62)43(31)=8∴22.b⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）∵222222(22)(62)(23)1cos22222(62)bcaAbc，∴060.A（法二：正弦定理）∵0233sinsinsin45222aABb又∵622.41.43.8，2321.83.6∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式1】在ABC中，已知3b,4c,0135A.求B和C.【答案】由余弦定理得：21225135cos43243222oa，∴48.621225a由正弦定理得：sin3sin135sin0.327obABaa，因为0135A为钝角，则B为锐角，∴0/197B.∴00/180()2553CAB.【变式2】在ABC中，已知角,,ABC所对的三边长分别为,,abc，若2a，22b，62c，求角A和sinC【答案】根据余弦定理可得：222884343cos2222262bcaAbc∵0180A，∴30A；∴由正弦定理得：62sin3062sinsin24cACa.