2016年文科数学全国卷二

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（B卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）设复数z满足，则=（A）（B）（C）（D）(3)函数的部分图像如图所示，则（A）（B）（C）2sin(+)6yx{123}A，，，2{|9}BxxAB{210123}，，，，，{21012}，，，，{123}，，{12}，i3izz12i12i32i32i=sin()yAx2sin(2)6yx2sin(2)3yx（D）2sin(+)3yx(4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A）（B）（C）（D）(5)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（A）（B）1（C）（D）2(6)圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（A）−（B）−（C）（D）2(7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π(8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（A）（B）（C）（D）(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2，2，5，则输出的s=12323kx1232433437105838310（A）7（B）12（C）17（D）34(10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）(11)函数的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7(12)已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则(A)0(B)m(C)2m(D)4m二．填空题：共4小题，每小题5分.(13)已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.(14)若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为__________（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后1yxπ()cos26cos()2fxxx1=miix103030xyxyx4cos5A5cos13C说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）(本小题满分12分)等差数列{}中，（I）求{}的通项公式；(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2（18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345[频数605030302010（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求P(B)的估计值；（III）求续保人本年度的平均保费的估计值.（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到'DEF的位置.（I）证明：；na34574,6aaaananbnanb'ACHD(II)若,求五棱锥体积.（20）（本小题满分12分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；(II)若当时，，求的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.（I）当时，求AMN的面积(II)当2时，证明：.请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.55,6,,'224ABACAEOD'ABCEFD()(1)ln(1)fxxxax4a()yfx1,(1)f1,x()0fx＞a22143xy0kk＞MANAAMANAMAN32k（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，,求l的斜率.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，M为不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b时，.22(+6)+=25xycossinxtα,ytα,ì=ïïíï=ïî10AB=11()22fxxx=-++()2fxMÎ1abab++2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案第Ⅰ卷一.选择题（1）【答案】D（2）【答案】C(3)【答案】A(4)【答案】A(5)【答案】D(6)【答案】A(7)【答案】C(8)【答案】B(9)【答案】C(10)【答案】D(11)【答案】B(12)【答案】B二．填空题(13)【答案】6(14)【答案】5（15）【答案】2113（16）【答案】1和3三、解答题（17）(本小题满分12分)【答案】（Ⅰ）235nna；（Ⅱ）24.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据等差数列的性质求1a，d，从而求得na；（Ⅱ）根据已知条件求nb，再求数列nb的前10项和.试题解析：(Ⅰ)设数列na的公差为d，由题意有11254,53adad，解得121,5ad，所以na的通项公式为235nna.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235nnb，当n=1,2,3时，2312,15nnb；当n=4,5时，2323,25nnb；当n=6,7,8时，2334,35nnb；当n=9,10时，2345,45nnb，所以数列nb的前10项和为1322334224.考点：等茶数列的性质，数列的求和.【结束】（18）(本小题满分12分)【答案】（Ⅰ）由6050200求P(A)的估计值；（Ⅱ）由3030200求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算公式求解.【解析】试题分析：试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55200，故P(A)的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3200，故P(B)的估计值为0.3.(Ⅲ)由题所求分布列为：保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查200名续保人的平均保费为0.850.300.251.250.151.50.151.750.3020.101.1925aaaaaaa，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.考点：样本的频率、平均值的计算.【结束】（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）694.【解析】试题分析：（Ⅰ）证//.ACEF再证//.ACHD（Ⅱ）证明.ODOH再证OD平面.ABC最后呢五棱锥体积.试题解析：（I）由已知得，,.ACBDADCD又由AECF得AECFADCD，故//.ACEF由此得,EFHDEFHD，所以//.ACHD.'ABCEFD（II）由//EFAC得1.4OHAEDOAD由5,6ABAC得224.DOBOABAO所以1,3.OHDHDH于是22222(22)19,ODOHDH故.ODOH由（I）知ACHD，又,ACBDBDHDH，所以AC平面,BHD于是.ACOD又由,ODOHACOHO，所以，OD平面.ABC又由EFDHACDO得9.2EF五边形ABCFE的面积11969683.2224S所以五棱锥体积16923222.342V考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.【结束】（20）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）220.xy；（Ⅱ）,2..【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()fx，(1)f，(1)f，由直线方程得点斜式可求曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为220.xy（Ⅱ）构造新函数(1)()ln1axgxxx，对实数a分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）()fx的定义域为(0,).当4a时，1()(1)ln4(1),()ln3fxxxxfxxx，(1)2,(1)0.ff曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为220.xy（II）当(1,)x时，()0fx等价于(1)ln0.1axxx令(1)()ln1axgxxx，则'ABCEFD222122(1)1(),(1)0(1)(1)axaxgxgxxxx，（i）当2a，(1,)x时，222(1)1210xaxxx，故()0,()gxgx在(1,)x上单调递增，因此()0gx；（ii）当2a时，令()0gx得22121(1)1,1(1)1xaaxaa，由21x和121xx得11x，故当2(1,)xx时，()0gx，()gx在2(1,)xx单调递减，因此()0gx.综上，a的取值范围是,2.考点：导数的几何意义，函数的单调性.【结束】（21）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；（Ⅱ）设11,Mxy，，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示1x，从而表示||AM，同理用k表示||AN，再由2AMAN求k.试题解析：（Ⅰ）设11(,)Mxy，则由题意知10y.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角