专题——圆锥曲线定值问题

1高三二轮——圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．题型示例一．证明某一代数式为定值：1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；解：设M（y20,y0），直线ME的斜率为k(l0)，直线MF的斜率为－k，直线ME方程为200().yykxy∴由2002()yykxyyx，消200(1)0xkyyyky得解得20021(1),FFkykyyxkk；同理221,1kkyxkkyyFF∴0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk(定值)所以直线EF的斜率为定值▲利用消元法2、已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．证明FM→·AB→为定值解：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，所以－x1＝λx2①1－y1＝λ(y2－1)②2将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即y＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．解出两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)．所以FM→·AB→＝(x1＋x22，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0所以FM→·AB→为定值，其值为0．▲利用不变因素3、已知椭圆轴轴、与直线的离心率为yxaexylebabyax:.012222分别交于点为定值。求证：与该椭圆的一个公共点是直线，、ABAMlMBA。解：设aBeaAABAM,0,0,,由题意得。由abycxbyaxaexy22222,1得aabeaceaaeaabeacABAMabcM222,,,,,,即，而222221,011,eABAMeebac故且为定值。▲利用辅助元解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。二．证明动直线过定点或动点在定直线上问题4、如图,椭圆22221xyab的两焦点1F，2F与短轴两端点1B，2B构成211BFB为120,面积为23的菱形。（1）求椭圆的方程；（2）若直线:lykxm与椭圆相交于M、N两点(M、N不是左右顶点),且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A．求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标．3解：易得)1(椭圆的方程为13422yx（2）由消去,13422yxmkxy得到y0,0124843222与椭圆有两个交点，直线lmkmxxk，即0341236124812443482222222mkmkmkkm设M2211,,,yxNyx，则有222122143124,438kmxxkkmxx因为以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，所以即,0ANAM0,2,22211yxyx，而mkxymkxy2211,代入并整得0421221212mkmxxxxk4243843124122222mkmkkmkmk，化简整理得到kmkmkmkmkkmm722,0272,0416722或kmkm72,2均满足判别式大于0，所以当0,2,22:2此时，直线过定点时，xkkkxylkm当0,72,7272:72此时，直线过定点时，xkkkxylkm三．探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆M,恒过点F(1,0)，且总与直线:1lx相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的1122(,),(,)AxyBxy两点,当1216yy时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解：(1)因为动圆M,过点F(1,0)且与直线:1lx相切,所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离。所以,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,且12p,2p所以所求的轨迹方程为24yx4(2)假设存在A,B在24yx上,所以,直线AB的方程:211121()yyyyxxxx,即221112221()444yyyyyxyy即AB的方程为:211124()4yyyxyy,即22121121()4yyyyyyxy即:12()(164)0yyyx，令0y,得4x，所以,无论12,yy为何值,直线AB过定点(4,0)练兵场1、点P是椭圆22221(0)xyabab上任一点，A、B是该椭圆上关于原点对称的两点，那么PAPBkk是否为定值？思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立？2、过抛物线22ypx的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，判断11||||ABCD是否为定值，若是定值，求出该定值。3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，离心率等于255。（1）求椭圆C的标准方程（2）过椭圆的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若12,MAAFMBBF，求证12为定值。4、已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，点P在椭圆上，且满足1212||2||,30PFPFPFF，直线y=kx+m于圆2265xy相切，与椭圆相交于A、B两点，（1）求椭圆的方程；（2）证明AOB为定值。易错点1，设参时不够大胆，或者不够准确；2，化简时存在厌烦的心态或者利用条件关系不充分