中国科学院-自动化研究所(北京)-考博真题-数学-2016

中国科学院自动化研究所2016年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷科目名称：数学考生须知：1.本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。本试卷可能用到的常数：分别以2,(),(),(),()nnmnZtF表示标准正态分布，卡方分布，student-t分布和F分布的上分位数，则(0.005)3.29Z，(0.025)1.96Z，(0.05)1.65Z，240.0252.06t，240.051.71t,3,12(0.05)3.49F，4,12(0.05)3.26F，5,12(0.05)3.11F,3,20(0.05)3.10F，4,20(0.05)2.87F,5,20(0.05)2.71F,4,240.0752.8F。一．（14分）求微分方程组 11321233133832625dxxxdtdxxxxdtdxxxdt  满足初始条件122(0)1,(0)0,(0)1xxx 的解。   科目名称：数学第1页共3页  二．（12分）已知矩阵 121022121211A  试求矩阵A的满秩分解：AFG ，其中，F是4r 矩阵，G是3r 矩阵，()rrankA。 三．（12分）试求下面矩阵A 的Moore‐Penrose广义逆阵A：                   2042003621144iiiAi，  其中 1i。  四．（12分）设nnAC，是矩阵,ijAa 的特征值，试证明下列结论： 1.mA ； 2.1Re()2HmAA 3.1Im()2HmAA。 其中HA 是矩阵A的共轭转置，Re(),Im()分别是复数的实部和虚部；矩阵范数mA定义为：,,maxijmijAna 五.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1．设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。已知至少有一只蓝球，则有一只蓝球一只白球的概率为_。2.设),3(~2NX,且1.0}0{XP，则}63{XP_。3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为(6),02,24;(,)0,,kxyxyfxy其他则{1,3)PXY_科目名称：数学第2页共3页4.假设一工厂有三部机器，三部机器的产量占总产量的比例分別为50%、30%以及20%，且已知三部机器均会产生瑕疵品，第一部机器的产量中有1%为瑕疵品，第二部机器的产量中有2%为瑕疵品、第三部机器的产量中有4%为瑕疵品。若已知抽中之产品为瑕疵品，其来自第二部机器的可能性为_。5.设1234,,,XXXX是来自正态总体X~0,4N的样本，则当a_时22123422YaXXaXX~22。六.(本题10分)设随机变量(,)XY的联合概率密度为1,,01(,)0,yxxfxyotherwise试求：1()2XYfxy。七.(每小题5分，共10分)设总体X的密度函数为1,0(,)0,xexfx其它，其中0未知，nXXX,,,21是从该总体中抽取的一个样本。1.试求的极大似然估计。2.此极大似然估计偏倚是多少？八.(本题10分)保险公司新增一个保险品种，每份保单缴纳保费100元，若发生赔付，赔付金额为2万元。根据统计,这类保险赔付概率为0.0005。这个新保险品种预计需投入120万元的广告宣传费用。在忽略其他费用的情况下,一年内至少需要多少人参保,才能使保险公司在该年度获利超过80万元的概率大于95%?科目名称：数学第3页共3页