2017中国科学院自动化所考博真题

中国科学院自动化研究所2017年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷科目名称：数学考生须知：1.本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。注：后面五个试题可能用到以下常数：19192020(0.95)1.729,(0.975)2.093,(0.95)1.725,(0.975)2.086tttt0.0250.050.100.201.96,1.64,1.280.84uuuu，其中，()nt表示自由度为n的t分布的上分位数；u表示标准正态分布的上分位数。一、（18分）已知矩阵011110101A，试求矩阵A的分解式AQDT，其中Q是正交矩阵，D是对角矩阵，而T是主对角线上元素全为1的上三角矩阵。二、（15分）设12121,,,,,,,nnaaabbb都是非零的实数，n阶矩阵111211nnnabbaAbba1.证明：矩阵A的秩大于等于1n；2.证明：矩阵A有n个不同的实特征值。三、（17分）已知矩阵200011101A，试求矩阵函数sin,tAAe，其中，t是实数。科目名称：数学第1页共2页四、（每小题5分共10分）某品牌跑车共有四种颜色：白、蓝、黑、红。换挡则分为手动与自动。下表是各种类型的车所占比例：比例颜色白色蓝色黑色红色自动0.150.100.100.10手动0.150.050.150.20令A=｛跑车为自动档｝，B=｛跑车为黑色｝，C=｛跑车为白色｝，计算：1.PBA；2.CPAC，其中CC表示C的补集。五、（10分）设中国科学院自动化所共有学生1200名，假定一名学生连续一小时不间断用水，需水0.5吨，高峰时期每名学生用水的概率为0.05。问每天用水高峰时期，每小时供应多少吨水才有95%的把握保证学生用水？六、（每小题5分共10分）设随机变量(,)XY的概率密度为1(,)0kyxfxy当其它。1.求k；2.计算条件分布0.5XYfxy。七、（每小题5分共10分）假设1,,nXX是来自[0,]上的均匀分布的一个随机样本。考虑如下两个关于的点估计：111ˆmax(,)nnXXn，211ˆ2(=)niiXXXn其中1.试证1ˆ、2ˆ均为无偏估计；2.当n1时，哪个估计更好一些，为什么？八、（10分）某工厂生产电灯泡的使用小时数~(,)N，其中,都是未知参数。现在观察n=20个电灯泡，测得20个使用小时数201,,xx，由此算得平均数，标准差分别为1832,497XS，取检验显著性水平05.0，试问该厂电灯泡的平均使用小时数为2000()h的结论是否成立?科目名称：数学第2页共2页