中科院自动化所2018年招收攻读博士学位研究生入学统一考试数学试卷.pdf

中国科学院自动化研究所2018年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷科目名称：数学考生须知：1.本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。注：可能会用到一些常数及符号：0.0250.050.100.200.0250.050.050.02522220.050.0250.050.0251.961.641.280.84(3)3.182(3)2.353(8)1.860(8)2.306(3)=7.815(3)=9.348(4)=9.448(4)=11.143uuuutttt，，，；，，，；，，，；u表示标准正态分布；()tn表示student-t分布；2()n表示卡方分布的上分位数。一、（10分）某人从外地到北京来参加一个会议，他乘普通火车的概率为110；乘高铁的概率为12；乘飞机的概率为52。如果乘普通火车来，迟到的概率为12；乘高铁来，迟到的概率为110；乘飞机来，迟到的概率为15。问：如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？二、（10分）设随机向量(,)XY的联合密度函数(,)24(1),pxyyxy,01xyxy且，（1）试求X的边际分布；（2）试求给定=1/2Y条件下X的条件密度函数。科目名称：数学第1页共2页三、（20分）设总体X的分布函数为00()0,1kxxFxxx其中0k为已知常数，0为未知参数。12,,,nXXX为独立同分布样本。（1）求的矩估计1和极大似然估计2；（2）求常数(1,2)ici使得iic为无偏估计。四、（10分）某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为12690C12710C12630C12650C设数据服从正态分布),(2N，以0.05的水平作如下检验：（1）这些结果是否符合于公布的数字12600C？（2）测定值的标准差是否不超过20C？五、（18分）已知矩阵200111113A，试求矩阵函数tAe，其中t。六、（17分）已知矩阵12-102111-1-2110112A，试求矩阵A的QR分解式，即求正交矩阵Q和主对角线上元素均为正数的上三角矩阵R，使得AQR。七、（15分）假定矩阵ijnnAa是实对称矩阵，它的Rayleigh商()Rx定义为：(),0TnTxAxRxxxx证明：minmax00min(),max()xxRxRx。其中，minmax,分别是矩阵A的最小和最大特征值。科目名称：数学第2页共2页