浙大流体力学-第4章-流体动力学基础

第四章流体动力学基础4.1流体的运动微分方程4.1.1理想流体运动微分方程设六面体的中心点，速度、压强p（abcd和a’b’c’d’面）形心点的压强为：(,,)Oxyzu1212MNpppdxxpppdxx受压面上的压力：质量力：由牛顿第二定律：化简得：同理：BxFXdxdydz1122xxxduFmdtdupppdxpdxdydzXdxdydzdxdydzxxdtMMNNPpdydzPpdydz1xdupXxdt11yzdupYydtdupZzdt将加速度展开为欧拉法表达式：（理想流体运动微分方程）理想流体：不考虑切应力111xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzuuuupXuuuxtxyzuuuupYuuuytxyzuuuupZuuuztxyz4.1.2粘性流体运动微分方程同一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变：动压强：应力和变形速度的关系附加法应力：xxyyzzpppppp13xxyyzzpppp''',,xxyyzzppp'''222xxxxxyyyyyzzzzzuppppxuppppyuppppz切应力：粘性流体运动微分方程：用向量表示：yzyzzyxzzxxzyxxyyxuuyzuuxzuuxy222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz21ufpuuut例：理想流体速度场为：，a，b为常数，质量力忽略不计，试求等压面方程。解：全微分形式：积分得：,,0xyzuayubxu11xyyxupuabxxyupuabyyx11ppdxdyabxdxydyxydpabxdxydy222xypabc令p＝常数，得到等压面方程：例：试证明不可压缩流体恒定均匀管流中，（1）任一点平行流动方向与垂直流动方向的法向应力相等，都等于该点的动压强p；（2）过流断面上，动压强按静压强规律分布。22xyc解：（1）选定直角坐标系代入连续性方程，得：法向应力和线变形的关系：得：0,0xzxzuuuuxz0yuy'''222xxxxxyyyyyzzzzzuppppxuppppyuppppzxxyyzzpppp解：（2）均匀流恒定流得：0xzuu0xzuutt222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz10()10()paxpgbz积分b式：得：代入a式：得：10()10()paxpgbz()()pgzcxc'()0()pcxxcxcpgzcpzcg4.2元流的伯努利方程4.2.1理想流体运动微分方程111xyzdupXxdtdupYydtdupZzdt1yxzpppXdxYdyZdzdxdydzxyzdudududxdydzdtdtdt1、质量力只有重力：2、不可压缩流体，恒定流动：ρ＝常数，，则：3、恒定流，流线与迹线重合0,XYZgXdxYdyZdzgdz,,ppxyz11ppppdxdydzdpdxyz2222,,22xyzyxyzxzdxudtdyudtdzudtduuuududuudxdydzdddtdtdt积分得：或：（理想流体元流伯努利方程）又称能量方程2222pugzcpuzcgg221122122222pupuzzggggpuzcg4.2.2伯努利方程的物理意义和几何意义：单位重量流体具有的位能：单位重量流体具有的压能：单位重量流体具有的动能：单位重量流体具有的机械能。zpg22ug22puzgg例：应用比托管测量点流速2'2pupggg2'2uupphggg'22uppugghg'22uppucgcghg4.2.3粘性流体元流的伯努利方程22'11221222wpupuzzhgggg4.3总流的伯努利方程4.3.1渐变流及其性质4.3.2总流的伯努利方程过流断面的微元面积、位置高度、压强即流速分别为dA1、z1、p1、u1；dA2、z2、p2、u2。22'11221222wpupuzzhgggg1122gdQgudAgudA22'11221222wpupuzgdQzgdQhgdQgggg11222112111112222'22222AAAwAQpupzgudAgudAzgudAgggugudAhgdQg势能积分：动能积分：动能校正系数α：（同一过流断面上流速不一样）水头损失积分：2211122211122222wpvpvzgQgQzgQgQhgQgggg221112221222wpvpvzzhggggAppzgudAzgQgg2322AAuugudAgdAgg'wwQhgdQhgQ3222AuvgdAgQgg例：用直径d＝100mm的水管从水箱引水，水箱水平与管道出口断面中心的高差H＝4m，保持恒定，水头损失hw＝3m水柱。试求管道的流量。解：1-1断面：z1＝H，p1＝0，v1≈0；2-2断面：z2＝0，p2＝0，v2221112221222wpvpvzzhgggg代入，得：流速：流量：2222wvHhg224.43/wvgHhms320.035/QvAms例：离心泵由吸水池抽水，已知抽水量Q＝5.56L/s，泵的安装高度Hs＝5m，吸水管直径d＝100mm，吸水管的水头损失hw＝0.25m水柱。试求水泵进口断面2-2的真空度。解：1-1断面：z1=0，p1=pa(绝对压强)，v1≈02-2断面：z2=H，p2=待求，v2=Q/A=0.708m/s221112221222wpvpvzzhgggg2222222225.2829.85.2851.74aswvaswvppvHhgggpppvHhmgggpkPa例：文丘里流量计，进口直径d1＝100mm，喉管直径d2＝50mm，实测测压管水头差Δh＝0.6m（或水银压差计的水银面高差hp＝4.76cm），流量计的流量系数μ＝0.98，试求管道输水的流量。解：解：能量方程连续性方程：22112212222112122222pvpvzzggggvvppzzgggg112221121122vAvAAdvvvAd1211241221121212124121211421ppvgzzggdddppppQgzzKzzggggdd用测压管：流量：1212ppzzhgg0.980.0090.66.83/QKhLs4.3.5总流伯努利方程应用的补充论述1-1，2-2断面上的伯努利方程：用水头表示形式（研究液体时，密度与大气相差很大，气体压强的水头差可以忽略。但研究气体时不能忽略）用压强表示形式：气体常用2212121212122absabswppvvzzhgggg2212112222absabswvvgzpgzpp112221absaabsaappppppgzz代入，得：（1）当气流的密度和外界空气的密度相同，方程为：（2）当气流的密度远远大于外界空气的密度，方程为：或：2212121222awvvpgzzpp22121222wvvppp2212121222wvvpgzzpp2211221222wpvpvzzhgggg例：自然排烟锅炉，烟囱直径d＝1m，烟气流量Q＝7.135m3/s，烟气密度ρ＝0.7kg/m3，外部空气密度为ρa＝1.2kg/m3，烟囱的压强损失。为使烟囱底部入口断面的真空度不小于10mm水柱，试求烟囱的高度。20.0352wHvpd解：1-1断面：2-2断面：代入，解得：211110009.80.0198/0,0opghNmvz2212121222awvvpgzzpp2220,9.089/,QpvmszHA32.63Hm2、有能量输入或输出的伯努利方程221112221222mwpvpvzHzhgggg3、两断面间有分流或汇流的伯努利方程对1’-1’断面和2-2断面列伯努利方程：''22'1122121'222wpvpvzzhgggg''1111ppzzgg'221122vvgg''22'11111122pvpvzzgggg221122121222wpvpvzzhgggg223311131322wpvpvzzhgggg4.4总流的动量方程元流1-2在dt时间动量的增量为：1'2'121'222'1'11'2tdtdKKKKKKK22'11'21222111dKKKudtdAuudtdAu212211222111AAdKudtdAuiudtdAui不可压缩，引入动量校正系数：由动量定理：2221222111212221112121dKdtvAidtvAidtvAvdtvAvdtQvv21212121FdtQdtvvFQvv212121212121xxxyyyzzzFQvvFQvvFQvv例：水平设置的输水弯管，转角θ＝60o，直径由的d1＝200mm变为d2＝150mm。已知转弯前断面的压强p1＝18kN/m2（相对压强），输水流量Q＝0.1m3/s，不计水头损失，试求水流对弯管作用力的大小。解：总流动量方程得投影式1-1，2-2断面的能量方程：其中：'122211'222cos60cos60s