数列求和大题专训含答案

必修5数列求和大题B卷一．解答题（共30小题）1．已知数列{an}满足：Sn=1﹣an（n∈N*），其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）试求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：（n∈N*），试求{bn}的前n项和公式Tn．2．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．3．已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an•3n，求数列{bn}的前n项和Sn．4．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．5．设数列{an}的各项均为正数，它的前n项的和为Sn，点（an，Sn）在函数y=x2+x+的图象上；数列{bn}满足b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，求证：数列{cn}的前n项的和Tn＞（n∈N*）．6．已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．7．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log4（1﹣Sn+1）（n∈N*），Tn=++…+，求使Tn≥成立的最小的正整数n的值．8．在等比数列{an}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=log2，且{bn}为递增数列，若Cn=，求证：C1+C2+C3+…Cn＜．9．设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn﹣1）且a2=b1，a5=b2（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an•bn，设Tn为{cn}的前n项和，求Tn．10．在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值．11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列．（1）证明数列{an}是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列{}的前n项和Tn．12．已知{an}是正项等差数列，{an}的前n项和记为Sn，a1=3，a2•a3=S5．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的通项为bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．必修5数列求和大题B卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•衡水校级模拟）已知数列{an}满足：Sn=1﹣an（n∈N*），其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）试求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：（n∈N*），试求{bn}的前n项和公式Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=1﹣an①∴Sn+1=1﹣an+1②②﹣①得an+1=﹣an+1+an⇒an；n=1时，a1=1﹣a1⇒a1=（6分）（Ⅱ）因为bn==n•2n．所以Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③故2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1④③﹣④﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=整理得Tn=（n﹣1）2n+1+2．（12分）2．（2016•渭南一模）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{an}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴an=2n，∴==，∴Sn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．3．（2016•扬州校级一模）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an•3n，求数列{bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵an=2n，∴bn=an•3n=2n•3n，∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，①3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2（n﹣1）×3n+2n×3n+1，②①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1=2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=（1﹣2n）×3n+1﹣3∴Sn=+．4．（2016•日照二模）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，．（Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），则n为奇数，cn==，n为偶数，cn=2n﹣1．∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）===．5．（2016春•绵阳校级月考）设数列{an}的各项均为正数，它的前n项的和为Sn，点（an，Sn）在函数y=x2+x+的图象上；数列{bn}满足b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，求证：数列{cn}的前n项的和Tn＞（n∈N*）．【解答】解：（1）∵点（an，Sn）在函数y=x2+x+的图象上，∴，①当n≥2时，，②①﹣②得：，即，∵数列{an}的各项均为正数，∴an﹣an﹣1=4（n≥2），又a1=2，∴an=4n﹣2；∵b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn，∴，∴；（2）∵，∴，4Tn=4+3•42+5•43+…+（2n﹣3）•4n﹣1+（2n﹣1）•4n，两式相减得，∴．6．（2016•日照一模）已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．【解答】（I）解：∵2Sn+an=1，∴当n≥2时，2Sn﹣1+an﹣1=1，∴2an+an﹣an﹣1=0，化为．当n=1时，2a1+a1=1，∴a1=．∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为．∴．（II）证明：bn====，∴数列{bn}的前n项和为Tn=++…+=．∴Tn＜．7．（2016•漳州二模）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log4（1﹣Sn+1）（n∈N*），Tn=++…+，求使Tn≥成立的最小的正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1⇒a1=，当n≥2时，Sn+an=1①，Sn﹣1+an﹣1=1②，①﹣②，得=0，即an=an﹣1，∴{an}是以为首项，为公比的等比数列．故an==3（n∈N*）；（Ⅱ）由（1）知1﹣Sn+1==，bn=log4（1﹣Sn+1）==﹣（n+1），=，Tn=++…+=（）+（）+…+（）=，≥⇒n≥2014，故使Tn≥成立的最小的正整数n的值n=2014．8．（2016•淮北一模）在等比数列{an}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=log2，且{bn}为递增数列，若Cn=，求证：C1+C2+C3+…Cn＜．【解答】解：（Ⅰ）∵a3=，S3=，∴当q=1时，S3=3a1=，满足条件，∴q=1．当q≠1时，a1q2=，=，解得a1=6，q=﹣．综上可得：an=或an=6•（﹣）n﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得bn=log2=log2=log222n=2n，则Cn===（﹣），即有C1+C2+C3+…Cn=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．9．（2016•张掖校级模拟）设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn﹣1）且a2=b1，a5=b2（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an•bn，设Tn为{cn}的前n项和，求Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn﹣1），∴b1=S1=，解得b1=3．当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=，化为bn=3bn﹣1．∴数列{bn}为等比数列，∴．∵a2=b1=3，a5=b2=9．设等差数列{an}的公差为d．∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n﹣1．综上可得：an=2n﹣1，．（Ⅱ）cn=an•bn=（2n﹣1）•3n．∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1．∴﹣2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣（2n﹣1）•3n+1﹣3=（2﹣2n）•3n+1﹣6．∴．10．（2016•泉州校级模拟）在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值．【解答】解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项∴a12q4+2a12q6+a12q8=25①a12q6=4②解①②的∴故数列{an}的通项公式；（2）∵bn=log2an=5﹣n∴∴=4﹣（n﹣1），数列{}为等差数列，其通项为=4﹣（n﹣1），当n=9时∴最大时，n=8或9故n=8或9．11．（2016•福安市校级模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列．（1）证明数列{an}是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列{}的前n项和Tn．【解答】解：（1）证明：由Sn，an，成等差数列，知2an=Sn+，当n=1时，有，∴，当n≥2时，Sn=2an﹣，Sn﹣1=2an﹣1﹣，两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），即an=2an﹣1，由于{an}为正项数列，∴an﹣1≠0，于是有=2（n≥2），∴数列{an}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，∴数列{an}是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴bn=log2an+3==n+1，∴==，∴Tn=（）+（）+…+（）==．12．（2016•禹州市三模）已知{an}是正项等差数列，{an}的前n项和记为Sn，a1=3，a2•a3=S5．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的通项为bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=3，a2•a3=S5．∴（3+d）（3+2d）=，解得d=2，或﹣（舍去）．∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）Sn==n2+2n．∴bn===．∴数列{bn}的前n项和Tn=++…++==﹣．