同步练习：任意角的三角函数

1/8任意角的三角函数习题组一：一、选择题1．下列四个命题中：()①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．不正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：单位圆中，π6与5π6有相同的正弦线，但π6≠5π6，②错；α＝π2时，α＋π＝3π2，π2与3π2都不存在正切线，③错，①与④正确．答案：C2．已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sinθ＋cosθ的值的是()A.43B.35C.45D.12解析：在单位圆中借助三角函数线可得sinθ＋cosθ＞1.答案：A3．若π4＜θ＜π2，则下列不等式成立的是()A．sinθ＞cosθ＞tanθB．cosθ＞tanθ＞sinθC．sinθ＞tanθ＞cosθD．tanθ＞sinθ＞cosθ解析：结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正切线最长，余弦线最短，且都为正，故tanθ＞sinθ＞cosθ.答案：D4．设0≤α2π，若sinα3cosα，则α的取值范围是()2/8A.π3，π2B.π3，πC.π3，4π3D.π3，π2∪4π3，32π解析：sinα3cosα，当cosα≤0，sinα＞0时，显然成立，由图知α的取值范围是π2，π当cosα＜0，sinα≥0时，显然成立，此时α＝π当sinα＜0，cosα＜0时，0tanα＜3，则π，43π当cosα＞0时，tanα＞3，x∈π3，π2π.答案：C二、填空题5．已知α是锐角，若sinα＜cosα，则角α的取值范围是________．解析：如图单位圆中，0＜MP＜OM，∴0＜α＜π4.答案：0，π46．不等式cosx＞12在区间[－π，π]上的解为________．解析：如图所示，答案：－π3，π37．不等式tanα＋330的解集为________．3/8解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，答案：αkπ－π6αkπ＋π2，k∈Z.三、解答题8．利用三角函数线求满足下列条件的角α的集合．(1)tanα＝－1；(2)sinα－12.解：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，∴∠xOP＝34π＝π－π4，∠xOP′＝－π4，∴满足条件的所有角α的集合是αα＝－π4＋kπ，k∈Z.(2)如图②所示，过点0，－12作x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－12，∴∠xOP＝116π，∠xOP′＝7π6，∴满足条件的所有角α的集合是4/8α7π6＋2kπα11π6＋2kπ，k∈Z.9.如图所示，已知单位圆O与y轴交于A、B两点，角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在射线OM上，过点A作直线AC垂直于y轴与角θ的终边OM交于点C，则有向线段AC表示的函数值是什么？解：设单位圆与x轴正半轴交于D，过D作DT垂直x轴交CO的延长线于T，过C作CE⊥x轴交x轴于E，如图．由图可得△OCE∽△OTD，∴OEOD＝CEDT，又CE＝OA＝OD＝1.∴1DT＝OE＝AC.根据任意角的三角函数的定义可得tanθ＝DT.∴AC＝1tanθ.10．用单位圆及三角函数线证明：正弦函数在0，π2上是增函数．证明：设0≤α1＜α2≤π2，分别作α1，α2的正弦线如图所示：sinα1＝M1P1，sinα2＝M2P2.∵0≤α1＜α2≤π2，∴M1P1＜M2P2，即sinα1＜sinα2，∴正弦函数在0，π2上为增函数．5/8习题组二：一、选择题1．已知cosα＝－817，且α在第三象限，则sinα等于()A.1517B．－1517C．±1517D．±815解析：因为cosα＝－817，且α在第三象限，所以sinα＜0，由平方关系可得：sinα＝－1－cos2α＝－1－－817，2＝－1517.答案：B2．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35解析：sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×552－1＝－35.答案：B3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值等于()A．2B．－2C．－2或2D．0解析：∵角α的终边落在直线x＋y＝0上，∴角α为第二或第四象限角．∵sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，∴当角α为第二象限角时，6/8原式＝－sinαcosα＋sinαcosα＝0；当角α为第四象限角时，原式＝sinαcosα＋－sinαcosα＝0.综上可知：角α为第二或第四象限角时，均有值为0，故选D.答案：D4．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A．4B．－4C．2D．－2解析：cosα＋2sinα＝－5⇒cos2α＋4sinαcosα＋4sin2α＝5⇒4sinαcosα＋3sin2α＝4⇒4tanα＋3tan2αtan2α＋1＝4⇒tan2α－4tanα＋4＝0⇒tanα＝2.答案：C二、填空题5．若sinθ＝－45，tanθ0，则cosθ＝________.解析：∵sinθ＝－45，tanθ0，∴cosθ0，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－35.答案：－356.2cosθ1－sin2θ＋1－cos2θsinθ的值为________．解析：原式＝2cosθ|cosθ|＋|sinθ|sinθ＝3，θ为第一象限角，－1，θ为第二象限角，－3，θ为第三象限角，1，θ为第四象限角.答案：±1或±37/87．已知8sinθ＋cosθsinθ－3cosθ＝3，则sinθ·cosθ＝________.解析：由8sinθ＋cosθsinθ－3cosθ＝3，得tanθ＝－2，∴sinθ·cosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝－2－2＋1＝－25.答案：－25三、解答题8．已知sinα－cosα＝－55，π＜α＜3π2，求tanα的值．解：由sinα－cosα＝－552α＋cos2α＝1得5cos2α－5cosα－2＝0∴cosα＝255或cosα＝－55∵π＜α＜3π2，∴cosα＜0.∴cosα＝－55，∴sinα＝－255.因此tanα＝sinαcosα＝－255－55＝2.9．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα1＋1tanα＝1sinα＋1cosα.证明：左边＝sinα1＋sinαcosα＋cosα1＋cosαsinα＝sinα＋sin2αcosα＋cosα＋cos2αsinα＝sin2α＋cos2αsinα＋sin2α＋cos2αcosα8/8＝1sinα＋1cosα＝右边．即原等式成立．10．已知2sin2α＋2sinαcosα1＋tanα＝k0＜α＜π2.试用k表示sinα－cosα的值．解：2sin2α＋2sinαcosα1＋tanα＝2sinαα＋cosα1＋sinαcosα＝2sinαcosαα＋cosαsinα＋cosα＝2sinαcosα＝k.当0＜α＜π4时，sinα＜cosα，此时sinα－cosα＜0，∴sinα－cosα＝－sinα－cosα2＝－1－2sinαcosα＝－1－k.当π4≤α＜π2时，sinα≥cosα，此时sinα－cosα≥0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1－k.