第三讲--柯西不等式与排序不等式

有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式.如均值不等式:1212(,1,2,,)nnniaaaaaaaRinn≥.本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养思考:阅读课本第31页探究内容.设为任意实数.,,,abcd()()2222abcd联想由222abab≥两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系:一、二维形式的柯西不等式.,,,,,)(1等号成立时当且仅当则实数都是若二维形式的柯西不等式定理bcaddcbabdacdcba2222)1(bdacdcba2222)2(二维形式的柯西不等式的变式:22222)())((bdacdcba你能简明地写出这个定理的证明？2332244)())((,,1babababa证明为实数已知例运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.例2:设,,1,abRab求证:114ab≥.证明:由于,abR,根据柯西不等式,得21111()()()4abababab≥又1ab,∴114ab≥可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！.,,,.,,)(2等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当则是两个向量设柯西不等式的向量形式定理kk注：若11(,)xy，22(,)xy，则121222221122cos,xxyyxyxy定理1(二维形式的柯西不等式)若1122,,,xyxy都是实数,则2222211221212()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.定理1(二维形式的柯西不等式)若1122,,,xyxy都是实数,则2222211221212()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.111(,)Pxy222(,)PxyOxy|-|12xx12|-|yy这个图中有什么不等关系?（发现）定理3(二维形式的三角不等式)设1122,,,,xyxyR那么22222211221212()()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy221221222221212211)()(R,y,x,y,)(3yyxxyxyxx那么设二维形式的三角不等式定理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x22x)(2x2x2x)(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx证明22122122222121)()(yyxxyxyx22122122222121)()(yyxxyxyx二维形式的三角不等式221221221222222212121)()()(zzyyxxzyxzyx三维形式的三角不等式22222112222122221)()()(nnnnyxyxyxyyyxxx一般形式的三角不等式小结:.,),,,()())(()1(22222等号成立时当且仅当二维形式的柯西不等式bcadRdcbabdacdcba.,,,.(4)等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当柯西不等式的向量形式kkbdacdcba2222)2(bdacdcba2222)3(221221222221212211)()(R,y,x,y,)()5(yyxxyxyxx那么设二维形式的三角不等式变式引申:.,94,13222并求最小值点的最小值求若yxyx)61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最小值点为的最小值为得由时取等号即当且仅当由柯西不等式解yxyxyxyxyxyxyxyxyx的最大值求函数例xxy210153.1,yb,,,,1的最小值求且已知补充例yxxaRbayx2min22222)()(.,)()()(,1,,,,:bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx时取等号即当且仅当解补充例2:已知a,bR，a+b=1,12,,xxR求证：121212axbxbxaxxx≥分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.证明：∵1212axbxbxax=1221axbxaxbx由柯西不等式可知1212axbxbxax21212axxbxx≥=21212abxxxx.得证补充例3：已知22111,abba求证：221ab。证明：由柯西不等式，得22222211111abbaaabb≤当且仅当2211bbaa时，上式取等号，2211,abab222211,abab于是221ab。注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的5,5.10,10.102,102.52,52-A.)(,10,,.122DCBbabaRba的取值范围是则且若补充练习2536.3625.56.65A.)(32,1.222DCByxyx的最小值是那么已知______1212.3的最大值为函数xxy______2,623,.422值是的最大则满足设实数yxPyxyx______)1()1(,1.522的最小值是则若bbaabaAB3112251.已知224936xy,求2xy的最大值.2.已知326xy,求222xy的最小值.作业:课本习题3.1第1、3、7、8题另加下面2题.,:1221等号成立时当且仅当的柯西不等式化简后得二维形式将平面向量的坐标代入能得到从平面向量的几何背景baba，，2221122212221)()()(bababbaa化简后得将空间向量的坐标代入也能得到从空间向量的几何背景类似地,,,2332211232221232221)()()(babababbbaaa.)3,2,1(,,0,,等号成立时使得或存在一个数即共线时当且仅当，ikbakii根据上面结果,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?猜想柯西不等式的一般形式222112222122221)())((bnnnbabababbbaaa，aaaAn22221设，bbbCn22221nnbababaB22112BAC则不等式就是分析：)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又0)()(4)(4,0)(222212222122211nnnnbbbaaabababaxf即的判别式二次函数。等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn222112222122221)())((bnnnbabababbbaaa2222122121)(1,,,,1nnnaaaaaanaaa求证都是实数已知例22122221222)111())(111(:nnaaaaaa证明22122221)()(nnaaaaaan22221221)(1nnaaaaaandacdbcabdcbadcba2222,,,,2证明是不全相等的正数已知例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca2222222222222222222a)()(,,,,)())((:即不成立是不全相等的正数证明的最小值求已知例222,1323zyxzyx141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx1111x1x:1,xx,Rx,x,6.412222121n21n21nxxxxxxPnn求证且设1)()1x11111()x1x11()11x(1)111()1(:2212n222111n2n222121212222121nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明1111x1x2222121nxxxxnn.,16a,8,,,,122222的取值范围求满足已知实数例eedcbedcbaedcba5160,01651664464,)8()16(4d)cb(a))(1111()4(a:22222222222222eeeeeeeedcbadcb故即即解补充例题.,21,31,61,914136)321()941)((941:2222等号成立时即当且仅当用柯西不等式证法一zyxzyxzzyyxxzyxzyxzyx36941,1,,,2zyxzyxRzyx求证且已知例36941,1,,,2zyxzyxRzyx求证且已知例.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等号成立时即当且仅当代入法证法二zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx例3.已知实数,,,,abcde满足8,abcde2222216,abcde求e的取值范围.22222222222222:4()(1111)()()4(16)(8),6446416165160,05abcdabcdabcdeeeeeeee解即即故≥≥≥≥≤≤补充练习3100)1()1()1(:,1,,,.2222ccbbaacbacba求证且为正数设222222236)sin1sin1sin1)((:,,,,,1RCBAcbaRcbaABC求证外接圆半径为设其各边长为中在2221121413121174:,2.3nnn试证的正整数是不小于若23)(1)(1)(1:,1,,,.4333baccabcbaabcRcba试证明且满足设先思考一个具体的数字计算题：思考1.已知两组数1，2，3和4,5,6,若123,,ccc是4，5，6的一个排列，则123123ccc的最大值是_____,最小值是___