不等式高考复习全面版

考纲要求考情分析1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景.1.从考查内容看，不等式的性质为高考考查的重点，且常与函数、数列、解析几何以及实际问题相结合进行命题．2.从考查形式看，主要以选择题、填空题为主，一般难度不大，属低中档题.1．比较两实数大小的法则(1)ab⇔，(2)a＝b⇔，(3)ab⇔.a－b0a－b＝0a－b02．不等式的基本性质性质名称性质内容注意1对称性ab⇔_____⇔2传递性ab，bc⇒______⇒3可加性ab⇔____________⇔abc0⇒4可乘性abc0⇒c的符号acbcaca＋cb＋cbaacbc性质名称性质内容注意5同向可加性abcd⇒___________⇒6同向同正可乘性ab0cd0⇒_______⇒7可乘方性ab0⇒_________(n∈N，n≥2)8可开方性ab0⇒___________(n∈N，n≥2)正不等式a＋cb＋dacbdanbnnanb提示：不一定成立．只有a，b同号时成立．a＞b⇔1a＜1b成立吗？1．已知－1＜a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是()A．a2＞－a3＞－aB．－a＞a2＞－a3C．－a3＞a2＞－aD．a2＞－a＞－a3解析：∵－1＜a＜0，∴0＜－a＜1，∴－a＞(－a)2＞(－a)3，即－a＞a2＞－a3.答案：B2．设命题p：“x2”是“x24”的充要条件，命题q：若ac2bc2，则ab，则()A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p，q均为假解析：由已知得p假，q真，故p或q为真．答案：A3．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则1a＜1bD．若a＜b＜0，则ba＞ab解析：对于选项A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；取a＝－2，b＝－1知选项C、D错，故选B.答案：B4．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为________．解析：∵第1天完成了60方土，还要至少提前两天．∴后3天完成的土方数3x≥300－60.答案：3x≥300－605．若loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，则a的取值范围是_______．解析：∵loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，且a2＋1＞1，∴0＜a＜1，a2＋1＞2a，解得12＜a＜12a＞1，.答案：12＜a＜1【考向探寻】1．用不等式表示不等关系．2．区分不等关系与不等式．应用不等式表示不等关系【典例剖析】(1)(2013·萍乡模拟)某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5件或乙种零件4件．在这20名工人中，派x人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元，若要使车间每天获利不低于1800元，则x所要满足的不等关系是________．(不需要化简和求解)(2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．(1)分析题意，列出不等式即可．(2)设出未知量，分析已知量与未知量的关系，用不等式表示不等关系．(1)解析：∵x人加工乙种零件，∴(20－x)人加工甲种零件，故由题意得4x×24＋(20－x)×5×16≥1800.答案：24×4x＋(20－x)×5×16≥1800(2)解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则由题意可得40x＋90y≤1000，x≥5，y≥6，x，y∈N*，即4x＋9y≤100，x≥5，y≥6，x，y∈N*.【互动探究】将本例(2)改为：计划使用不少于500万元的资金来购买单价分别为40万元和90万元的A型和B型汽车，且A型汽车不多于5辆，B型汽车不多于6辆，又该如何表达不等关系？解：设购买A型车辆和B型车辆分别为x辆，y辆．由题意得40x＋90y≥500，x≤5，y≤6，x，y∈N*，即4x＋9y≥50，x≤5，y≤6x，y∈N*.将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系．常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表：文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义.【考向探寻】1．作差法比较大小．2．作商法比较大小．比较大小【典例剖析】(1)(2013·邵阳模拟)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝logπsin2π5，则A．abcB．bacC．cabD．bca(2)已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则ad与bc的大小关系是__________．(3)已知a＞0，b＞0，试比较ab＋ba与a＋b的大小．题号分析(1)寻求中间量，并结合函数单调性求解．(2)根据不等式的性质比较大小．(3)用作差法或作商法比较大小.(1)解析：∵a＝20.51,0b＝logπ31，c＝logπsin2π50，∴abc.答案：A(2)解析：∵c＞d＞0，∴1d＞1c＞0.又a＞b＞0，∴ad＞bc＞0，∴ad＞bc.答案：ad＞bc(3)解：方法一：ab＋ba－a＋b＝aa＋bb－aba＋bab＝aa＋bb－ab－baab＝aa－b－ba－bab＝a－ba－bab＝a＋ba－b2ab.∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，ab＞0.又∵(a－b)2≥0(当且仅当a＝b时等号成立)，∴a＋ba－b2ab≥0.即ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立)．方法二：ab＋baa＋b＝aa＋bbaba＋b＝a3＋b3aba＋b＝a＋ba＋b－ababa＋b＝a＋b－abab＝a－b2＋abab＝1＋a－b2ab≥1(当且仅当a＝b时等号成立)．∵a＋b＞0，∴ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立)．比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③判定符号；④下结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小；若是解答题，也可以用特殊值法探路．【活学活用】1．(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；(2)设a∈R，且a≠0，试比较a与1a的大小．解：(1)(x6＋1)－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)＝(x2－1)2(x2＋1)．当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.(2)a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a，当－1＜a＜0或a＞1时，a＞1a；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜1a；当a＝±1时，a＝1a.【考向探寻】利用不等式的性质求某些参数或代数式的取值范围．利用不等式的性质求范围【典例剖析】(1)已知12a60,15b36，则a－b的范围是________；ab的取值范围是________．(用区间表示)．(2)(12分)设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．(1)利用不等式的性质求范围即可．(2)方法一：可将f(－2)用f(－1)和f(1)表示，再根据f(－1)、f(1)的范围来求解．方法二：利用线性规划求解．(1)∵15b36，∴－36－b－15，又12a60，∴12－36a－b60－15，即－24a－b45.∵1361b115，∴1236ab6015，即13ab4.答案：(－24,45)，13，4(2)方法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n为待定系数)，1分则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.∴m＋n＝4n－m＝－2…………………………………………5分解得m＝3n＝1………………………………………………8分∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).…………………………………9分又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，………………………………11分故5≤f(－2)≤10.………………………………………12分方法二：由f－1＝a－bf1＝a＋b………………………………3分得a＝12[f－1＋f1]b＝12[f1－f－1]………………………………7分∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).………………………9分又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，………………………………11分故5≤f(－2)≤10.………………………………………12分方法三：由题意知f(－2)＝4a－2b，且1≤a－b≤22≤a＋b≤4画出不等式组1≤a－b≤22≤a＋b≤4表示的平面区域(如图阴影部分)，…………………………6分由图形知，当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，f(－2)可取得最小值4×32－2×12＝5，………………………………10分当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，f(－2)可取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.………………………………………12分(1)运用不等式的性质时一定要分清是单向的还是双向的．(2)由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围时，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．同时应用多个不等式时，容易改变不等式的范围，特别是多次运用同向不等式相加这一性质，因不是等价关系，易导致出错．【活学活用】2．已知0＜α－β＜π2，π2＜α＋2β＜3π2，求α＋β的取值范围．解：设α＋β＝A(α－β)＋B(α＋2β)＝(A＋B)α＋(2B－A)β.∴A＋B＝1，2B－A＝1.∴B＝23，A＝13，∴α＋β＝13(α－β)＋23(α＋2β)．∵α－β∈0，π2，∴13(α－β)∈0，π6.∵α＋2β∈π2，3π2，∴23(α＋2β)∈π3，π.∴α＋β∈π3，7π6.∴α＋β的取值范围是π3，7π6.不等式性质应用不当致误若1a1b0，则下列不等式：①1a＋b1ab；②|a|＋b0；③a－1ab－1b；④lna2lnb2中，正确的不等式是A．①④B．②③C．①③D．②④B对于本题只能根据不等式的性质逐个进行判断．在对备选的不等式进行化简时容易在使用不等式的性质时出错，特别是在一个不等式两端同时乘以一个数或是式子时，忽视正负号的判断导致出错．解析：由1a1b0，可知ba0.①中，a＋b0，ab0成立，所以1a＋b0，1ab0，故有1a＋b1ab，即①正确；②