不等式高考复习(4)全面版

考纲要求考情分析1.了解基本不等式的证明过程．1.从考查内容看，主要考查利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等结合在一起考查．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2.从考查形式看，主要以选择题、填空题的形式出现，考查最值的求法；也可渗透在解答题中，难度一般不大，属中低档题.1．基本不等式成立的条件：.2．等号成立的条件：当且仅当时取等号．一、基本不等式a＋b2≥aba0且b0a＝b二、几个重要不等式1．a2＋b2≥(a，b∈R)．2.ba＋ab≥(a，b同号)．3．ab≤a＋b22(a，b≥0)．4.a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a0，b0)，(注意不等式成立的条件，以及取等号的条件)2ab2三、利用基本不等式求最值问题1．已知x，y∈R＋，如果积xy是定值p，那么当且仅当_______时，和x＋y有值；2．已知x，y∈R＋，如果和x＋y是定值S，那么当且仅当_______时，积xy有值.x＝y最小最大x＝y2p14S2在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”．“一正”即公式中a、b必须是正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件．1．a0，b0，且ab＝9，则a＋b的最小值是()A．10B．9C．6D．5答案：C解析：a＋b≥2ab＝6，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．2．(2013·日照模拟)已知a0，b0，且2a＋3b＝1，则2a＋3b的最小值为()A．24B．25C．26D．27解析：∵2a＋3b＝1，∴2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋3b＝4＋9＋6ba＋6ab≥13＋26×6＝25，当且仅当ba＝ab且2a＋3b＝1，即a＝b＝15时等号成立．答案：B3．“ab0”是“aba2＋b22”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件解析：ab0⇒a2＋b22ab.∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，∴由a2＋b22ab⇒a，b∈R且a≠b⇒/ab0.答案：A4．(理)已知ab，ab＝1，则a2＋b2a－b的最小值是______．解析：记a－b＝t，则t0，a2＋b2a－b＝t2＋2t＝t＋2t≥22，当且仅当t＝2，即a＝6＋22，b＝6－22或a＝2－62，b＝－2＋62时取等号．答案：224．(文)当x＞1时，关于函数f(x)＝x＋1x－1的最小值为__________．解析：∵x＞1，∴x－1＞0，x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3.答案：35．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运______年时，营运的年平均利润最大．解析：求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润yx＝－x－62＋11x＝12－x＋25x≤12－225＝2，此时x＝25x，解得x＝5.答案：5【考向探寻】1．直接利用基本不等式求最值；2．变形后利用基本不等式求最值；3．基本不等式与其他知识点结合．利用基本不等式求最值及综合应用【典例剖析】(1)(2013·天津模拟)若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝A．1＋2B．1＋3C．3D．4(2)(理)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋4b的最小值是A．5B．6C．8D．9(2)(文)若a0，b0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是A.14B．1C．4D．8(3)求3a－4＋a的取值范围．(1)变形后利用基本不等式求出最值，根据等号成立的条件求a.(2)由条件求得a、b的关系式，然后变形后利用基本不等式求最值．(3)利用3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4求最值，需注意a－4的符号．(1)解析：∵x2，∴x－20，∴f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2且x2，即x＝3时等号成立．答案：C(2)(理)解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，其半径为2.因为直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)截圆所得的弦长为4，恰好是圆的直径，故该直线经过圆心(－1,2)，所以a＋b＝1.于是，1a＋4b＝1a＋4b(a＋b)＝5＋ba＋4ab≥9，当且仅当ba＝4ab且a＋b＝1，即a＝13，b＝23时等号成立．答案：D(2)(文)解析：由条件知a＋b＝1.∴1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab且a＋b＝1，即a＝b＝12时等号成立．答案：C(3)解：显然a≠4，当a＞4时，a－4＞0，∴3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4≥23a－4×a－4＋4＝23＋4，当且仅当3a－4＝a－4，即a＝4＋3时，取等号；当a＜4时，a－4＜0，∴3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4＝－34－a＋4－a＋4≤－234－a×4－a＋4＝－23＋4，当且仅当34－a＝(4－a)，即a＝4－3时，取等号．∴3a－4＋a的取值范围是(－∞，－23＋4]∪[23＋4，＋∞)．利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)判断等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．为了创造使用基本不等式的条件，常需要对求值的式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的关键在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中注意等号成立的条件．【活学活用】1．(1)设0＜x＜2，则函数y＝3x8－3x的最大值为______．解析：∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0，∴y＝3x8－3x≤3x＋8－3x2＝82＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时，取等号．∴当x＝43，y＝3x8－3x的最大值是4.答案：4(2)若x∈[0,1]，则函数y＝3x8－3x的最大值为______．解析：由上题的解答知，当x∈[0,1]时，函数的最大值不能用基本不等式．∵y＝－9x2＋24x＝－9x－432＋16(x∈[0,1])，∴函数在[0,1]上单调递增．∴ymax＝15.答案：15【考向探寻】1．利用基本不等式判断所给的不等式是否成立；2．利用基本不等式证明所给的不等式．利用基本不等式证明不等式、判断不等式是否成立【典例剖析】(1)若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.题号分析(1)利用基本不等式及重要不等式逐一验证即可(2)①不等式的左边不满足利用基本不等式的形式；②利用“1”进行代换；③展开后使用基本不等式.(1)解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B、C，当a0，b0时，明显错误．对于D，∵ab0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.故正确．答案：D(2)解：方法一：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当ba＝ab且a＋b＝1，即a＝b＝12时等号成立．方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤a＋b22＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9，当且仅当a＝b且a＋b＝1，即a＝b＝12时等号成立．证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及变形式来证．同时要从整体上把握不等式，如a4＋b4≥2a2b2等是对基本不等式的灵活运用．本题先局部运用基本不等式，然后用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在解题时具有一定的普遍性．(1)证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用．(2)“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，会给解决问题提供简捷的方法．【活学活用】2．求证：不等式a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c2＋a2≥2c2a2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.【考向探寻】利用基本不等式解决现实生活中的最值问题．用基本不等式解实际问题【典例剖析】(1)一批货物随17列货车从A市以akm/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202km，那么这批货物全部运到B市，最快需要A．6hB．8hC．10hD．12h(2)(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．①求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；②若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？(1)根据题意列出所需时间的关系式，利用基本不等式求解．(2)解答本题可按以下思路进行．①审清题意，列出平均成本的关系式，根据其特点利用基本不等式求解．②根据题意列出最大利润的关系式，根据其特点选用函数单调性求解．(1)第一列货车到达B市所需时间为400ah，由于两列货车的间距不得小于a202km，所以第17列货车到达B市所需时间为400a＋16·a202a＝400a＋16a400≥8，当且仅当400a＝16a400即a＝100(km/h)时成立，所以最快需要8h，故选B.答案：B(2)①由题意知0x≤210，每吨平均成本为yx(万元)……2分则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x即x＝200时等号成立.………………5分∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．②设年总利润为R(x)万元，…………………………6分则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∴R(x)在[0,210]上是增函数，…………………………9分∴当x＝210时，R(x)有最大值，且R(x)max＝－15(210－220)2＋1680＝1660.∴当年产量为210吨时，可以获得最大利润，且最大利润为1660万元.………………………………………………12分应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出答案．在求最值问题时，若使用基本不等式的条件不具备，则考虑用函数的单调性来解决．【活学活用】3．(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用